100个囚犯的脱狱问题

话说有一国王找到100个囚犯，每个人都剃了光头。

 

国王对他们说：一会儿有人会在你们头上写上1-100之间的随机数。你们只要有一个人能说对大家头上所有数字的和，就都放了。否则统统赠送给芙蓉姐姐做宠物。给你们一炷香的时间好好商量一下对策。

 

这帮子囚犯都是学过基本算数的，加减乘除都没问题。

 

一炷香之后，国王的巫师屏蔽了他们之间的交流（不要问我怎么做到的） - 结果每个囚犯都能看到别人头上写的啥，但没办法知道自己的数字。

 

囚犯们采用什么策略才能保证一定会被释放呢？

 

 

解答：

设100个囚犯头上数字的和为sum；第N个囚犯头上数字为Pn(1<=Pn<=100)，除第N个囚犯数字和为Tn,则sum = Pn+Tn，则Pn = sum - Tn成立；Pn-1 = - Tn0+sum0(注：如果为负的话加100即可)
第一个犯人：P1-1=-(T10)+0
第二个犯人：P2-1=-(T20)+1
...
第100个犯人：P100-1=-(T1000)+99
因为0<=sum0<=99，sum0是唯一的，则Pn中必有一个是某囚犯自己头上的数字，每个人提交Pn+Tn即可获释。

 

鸽巢原理也叫抽屉原理，是Ramsey定理的特例。

简单形式

　　如果n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。

加强形式

　　令q1,q2,...qn为正整数。如果将

　　q1+q2+...+qn-n+1个物体放入n个盒子内,那么或者第一个盒子至少含有q1个物体,或者第二个盒子

　　至少含有q2个物体,...,或者第n个盒子含有qn个物体.