范畴category:组合的本质

之前我在分解和组合的抽象方法一文中谈了分解decomposition和组合composition具体特点，范畴理论大师Bartosz Milewski最近正好写了这篇Category: The Essence of Composition，从范畴角度挖掘了分解组合和树形结构以及构造定律的本质，并解释了函数编程FP的一些原理，如果你对这方面已经有所思考，让我们一起深入细节吧。下面是大概翻译。

一个范畴category 其实是一个非常简单的概念，一个范畴由多个对象和它们之间的箭头组成，这就是为什么范畴如此容易表达的原因，一个对象能用一个圆和一个点画出来，一个箭头就是一个箭头，如下图所示。

但是范畴的基本本质是组合，当然你也可以说，组合的本质是范畴，如果你有一个箭头从对象A到对象B，又有一个箭头从对象B指向对象C，那么这两个箭头的组合结果是，肯定有一个箭头从对象A指向对象C。

箭头作为函数
这就是抽象吗？可能你有点失望，让我们讲些核心的，想想箭头，也称为态射morphisms，它用来作为函数，如果你有一个函数f，其将类型A作为输入参数，返回输出的是类型B，如果还有另外一个函数g，它是将类型B作为输入参数，返回输出的是类型C，你就能通过将f的结果传给g组合它们，你也就定义了一个新的函数，它是将类型A作为输入参数，返回输出的是类型C。

在数学中，这样的组合是在函数之间使用小圆圈表达，如：g∘f，注意从右到左是组合的顺序，如果你还有写疑惑，如果你熟悉Unix/linux，其管道命令如下：

lsof | grep Chrome

或者F#中的>>，它们都是表达从左到右，但是在数学和Haskell函数组合中，组合是从右到左，你可以将 g∘f 读成， “g after f.”(g在f后面)

我们可以使用C代码来更明确表达，我们有一个函数f，它将类型A作为输入参数，返回输出的是类型B的值。

B f(A a);

另外一个函数:

C g(B b);

它们的组合是：

C g_after_f(A a) { return g(f(a)); }

这里你看到从右到左的组合： g(f(a))，这是在C语言中。

我很希望告诉你在C++标准库中有一个模板能够将两个函数组合在一起然后返回，但是没有，而在Haskell中，我们可以这样表达一个A到B的函数：
f :: A -> B

类似有：
g :: B -> C

它们的组合是：
g . f

一旦你看到Haskell如此简单表达函数组合，而C++如此无力，其实Haskell可以直接让你用Unicode字符表达组合如下：
g ∘ f

甚至可以使用双冒号和箭头表达如下：
f ∷ A → B

这是Haskell 的第一课，双冒号表达的是：有某个类型，一个函数的类型是使用在两个类型之间插入一个箭头来表达，你能这样通过一个句号点来表达两个函数的组合。


组合的特性

在范畴论中，组合必须满足两个特性：

1. 组合是关联的associative
(banq:组合是一种关系，如同金木水火土是一种组合关系一样)，如果你有三个态射(箭头)，比如f, g 和h，那就能够组合(它们的对象必须是端对端end-to-end，树叶?)，你不必使用括号组合它们，数学符合表达成：
h∘(g∘f) = (h∘g)∘f = h∘g∘f

使用Haskell伪代码如下：

f :: A -> B g :: B -> C h :: C -> D h . (g . f) == (h . g) . f == h . g . f

(伪代码的意思是等于号并不是为函数定义的)

关联性是在处理函数时相当显目，也许在其他范畴并没有如此明显。

2.对于每个对象A有一个箭头代表组合单元，这个箭头是从对象循环指向自己，那就意味着是一个组合的基本单元，从A开始在A自身终结的箭头，相应地其返回同样的箭头，对象A的箭头单元称为idA (banq注：由于字符原因，后面的A要矮一半)，这表达A的标识identity ，在数学符号中如果f是从A到B，那么：
f∘idA = f
和
idB∘f = f

当处理函数时，标识箭头被实现为标识函数，该函数返回的是自己的输入参数，这个实现对于每个类型都是相同的，那就意味这个函数是通用的多态性。在C++我们能将其作为一个模板定义：
template T id(T x) { return x; }

当然，在C++中没有这么简单，因为你不只是传递它，而且还要涉及如何传递，是按引用传递 按值传递 等等。

在Haskell中，标识函数是标准库的一部分，称为Prelude，下面是它的定义表达：
id :: a -> a
id x = x

正如你看到，在Haskell多态函数是出奇简单，你只需要使用一个类型变量替代类型，核心类型的名称总是以大写字母开始，类型变量的名称总是以小写字母开始，这里a代表所有类型。

Haskell函数定义是由函数的名称，后面跟着一个形式参数，这里只有一个x，函数体跟在等号后面，这种简洁常常初学者震惊,但你很快就会看到它意义非凡，函数定义和函数调用是函数编程中的面包和黄油，这样它们的语法是需要简单到最小，不仅没有包围参数的括号，参数之间也没有逗号间隔开。

函数体总是一个表达式，在函数中没有任何statements，函数的结果也是一个表达式，这里只是x。

这是Haskell的第二课。

标识情况能用伪Haskell代码写如下：
f . id == f
id . f == f

这里你也许会有一个问题，为什么人们总是要用到标识函数，一个什么都不做的函数？那么，为什么人们使用数字零呢？零是代表什么也没有，古罗马的数字系统是没有零的，他们能够建立很棒的道路和渡槽，一些保留至今。

自然数字零或id实际非常有用，这是当它们使用在符号变量中时，那就是为什么罗马人不擅长代数的原因，相反，阿拉伯人和波斯人擅长，他们非常熟悉零的概念，一个标识函数可以非常便利地作为参数或返回参数，或一个高阶函数，高阶函数其实就是函数可能的符号实现，它们是函数的代数。

总结一下，一个范畴是由对象和箭头组成，箭头能够组合 组合是关联的，每个对象都有一个标识箭头，作为组合的基本单元使用。

组合是编程的本质
(banq:下面关于组合的意义干货来了)

函数编程者们有一个奇特的目标性问题，他们总是询问类似零的问题， 实际中，当我们设计一个交互程序，他们会问:什么是交互？什么时候实现Conway的人生游戏？他们可能会思考人生的意义，以这种范式，我会问什么是编程？最基本概念，编程是告诉电脑做什么. 将内存地址的x的内容加入到寄存器EAX的内容，但是当我们汇编编程时，我们发给计算机的指令是有意义的表达式，我们解决了一个不平凡的问题(如果平凡我们就不需要计算机帮助了)，那么我们是怎么解决问题？

我们分解大的问题为小的问题，如果小的问题还是很大，我们继续分解它，最后我们编写代码来解决这些分解后的小问题，那么编程的本质就来了：我们是组合这些代码片段来为一个大问题创建解决方案。如果我们不能将那些碎片代码组合起来，分解就没有必要 (banq注：如果拆了不能装起来，拆就是破坏了)

分解和组合的并不影响电脑，但是它受限于人的智力，我们的大脑在某个时间只能处理一些概念，最常见的心理学论文之一： The Magical Number Seven, Plus or Minus Two指出我们只能保持 7 ± 2 个信息片段，我们对人类短期记忆的理解已经改变，但是我们确认它是有限的，底线是我们不能处理一锅汤一样的代码，我们需要结构不是因为良好结构的代码看上去让人高兴，而是因为我们的大脑不能有效处理（非结构的数据），我们经常描述一段代码如何优雅和美丽，但是我们真实意思是它们容易被人类智力处理，优雅代码代表的数量正好符合我们大脑处理大小，符合我们精神系统能够消化的食物量大小。

那么程序组合的数量是多少正好呢？表面数量总是小于它们的体积(几何学中表面积的增长总是慢于体积的增长)，表面积是我们需要组合的信息片段，而体积是我们需要实现的信息，一旦一段信息被实现，我们就会忘记实现细节，而关注它是如何和其他片段交互上 (banq注：符合老子道德经中的无以为用)，在面向对象编程中，表面是对象的类，或它的抽象接口，在函数编程中，它是函数的声明。

范畴理论总是鼓励我们从对象内部细节中转移开来(banq注：我之前帖子中的一张桌子理论，无才能用)，在范畴理论中一个对象是一个抽象模糊的实体，你所有需要知道的只是它如何和其他对象交互(关系)，它是怎么使用箭头和其他对象连接的，这就是为什么互联网搜索引擎(Google)能够通过分析有多少其他网站链接指向你的这个网站，根据这些链入和链出的链接数量对你的网站进行排名(PageRank)。

在面向对象编程中，一个理想化的对象不仅是通过其抽象接口可见的(纯表面，无体积)，还有对象的方法method，因为方法代表箭头(如果方法里调用其他对象会产生对其他对象的依赖，箭头代表对象之间的组合关系)，这一刻你得进入对象的内部才能搞清楚它和其他对象如何组合，但是你就失去了编程的优点。

是否可以这么总结：

面向对象属于分解，函数编程属于组合。

有以为利，通过面向对象我们将一分解为多个，数量多了，“有”，而函数编程则是将多个组合成一个，数量少了，“无”，无才能用，只有忽略事物内部的细节，我们才能用它，否则陷入细节迷失方向。换句话说：数学分数考得好，不代表在实际中用数学用的好，牛顿没有发明几何学，但是用了几何学，创造了微积分，用它们推导出万有引力；爱因斯坦用了非几何学推导了相对论。

学习是一种分解能力，使用是一种组合能力，这是两种不同的能力。

再看看老子道德经的一段：三十幅共一毂，当其无，有车之用。埏埴以为器，当其无，有器之用。凿户牖以为室，当其无，有室之用。故有之以为利，无之以为用。

这段话意思是：三十根棍子做成的圆轱辘，只有忽视圆轱辘内部这种结构，着眼于圆轱辘外部，才会发现它原来是可以做车的轮子这一用处，两个轱辘与车架组合成一辆车。比如门窗，只有忽视其内部如何结构的构建，才会从外部想到用它在房间组合中。

我们分解大的问题为小的问题，如果小的问题还是很大，我们继续分解它，最后我们编写代码来解决这些分解后的小问题，我们组合这些片段来为了解决一个大问题。如果我们不能将那些碎片代码组合起来，分解就没有必要。如果拆了不能装起来，拆就是破坏了。

分解和组合的并不影响电脑，但是它受限于人的智力，我们的只能某个时间只能处理一些概念，最常见的心理学论文之一：The Magical Number Seven, Plus or Minus Two指出我们只能保持 7 ± 2 个信息片段，我们对人类短期记忆的理解已经改变，但是我们确认它是有限的，我们需要结构不是因为良好结构的代码看上去让人高兴，而是因为我们的大脑不能有效处理（大量数据），我们之所以使用树形结构，用一个根节点代表其聚合群体，用组长代表所有组员，用名字代表人的全部，等等这些组合抽象的办法就是让我们大脑去除大量对象内部的细节，用一个符号代替它们，这样我们才能基于这个树的根节点再组合成新的树形结构。

魔鬼出现在细节中，细节做不好整个事情会失败，但是细节做得太好，会让你沉湎于细节，无法宏观(组合成更大事物)。再打个比喻，我们使用名字代表一个人，但是如果你和这个人非常熟悉，感性感情无法让你用一个名字替代他，提到他的名字你会动容有感情，在这种情况下，对象内部大量细节占据了你的大脑，已经无法使得你理智地进行组合思考。

范畴理论总是鼓励我们从对象内部细节中转移开来，在范畴理论中一个对象是一个抽象模糊的实体，你所有需要知道的只是它如何和其他对象交互(关系)，它是怎么使用箭头和其他对象连接的，这就是为什么互联网搜索引擎Google Baidu等能够通过分析链入和链出的链接来排名网站一样。

范畴英文是Category，也是分类的意思，打个比喻，Google能根据哪些网站引用你的网站这个外部信息进行PageRank评分，从而对你的网站权重进行排序，这个道理和我们评价一个人有些类似，看一个不认识的人怎么样，那就看看他交往的什么朋友，什么环境，近墨者黑，人以群分，物以类聚，这些都是从事物所在的分类类别中判断其价值，而不是从事物内部细节。

以一张桌子为案例，分解思维的人看到后首先想到这张桌子由什么构成，长宽高和材质，这些都是桌子的内部细节；而组合思维的人看到后，环顾四周，看看其处于什么环境，如果放在教室中，他判断这是一张课桌，如果放在食堂，他判断这是一张饭桌。

所以，只有忘记对象的细节才能用好它，两个原因总结一下：首先，首先人脑短时记忆有限，如果大量对象内部细节占据大脑，而我们需要从对象外部组合它们，这些细节是干扰。其次，范畴也认为组合对象只要将对象看成模糊实体，注重它们之间关系。

忘记学习对象的细节才能用好它，无以为用，事物的制造者都不一定能用好它，除非事先有目标制造它，因此，学并不能致用，数理化学得好不一定用得好，博士给老板打工，老板赚大头。因为他把你的学问用处发挥了。自己学自己用因为智力限制也不可能。

这也解释了学生阶段中国学生数理化很好，但是毕业后诺贝尔奖获得者几乎没有，世界自然科学领军人物很少，那些高考状元 学神都哪儿去了？学得好不一定用得好，中国教育制度是以学习能力评价学生，各种考试充斥大量 知识细节，让学生耗费18年于这些可能以后无用的细节中，最终他们已经没有智力空间来思考如何使用这些大量的知识细节了。中国教育制度存在严重的本质错误。

当然，归根到底，还是“无以为用”这个范畴的组合本质很多人都没有搞清楚。