两点三次埃尔米特插值法

怎样用画笔画光滑曲线-两点三次埃尔米特插值法（转自http://blog.sina.com.cn/s/blog_a8192bdd010105rx.html）

求几点（3点以上）之间的光滑曲线是有很多办法的，如果需要曲线通过目标点，可以用经典的三次样条曲线，如果不需要曲线通过目标点，可以使用贝塞尔曲线。

例如，用三次样条曲线，只要有4点，并且确定两边界点的斜率，既可以求得通过4点的光滑曲线，曲线在各端点处有2阶光滑性。至于三次样条曲线的公式及算法，可以随便买一本《数值分析》研究一下。

但我这几天遇到的问题是，通过画笔绘制曲线时，要绘制成光滑曲线。

画笔的绘制同已知几点求光滑曲线不同，画笔要求的是实时绘制，也就是说画笔走到哪就要把光滑曲线画到哪，这里如果使用三次样条曲线，局限性就在于，以下图为例：

当画笔走到B时，只有AB两个端点，这时就要画出AB之间的曲线（实时性），而三次样条曲线要求有3点以上，这时就无法通过三次样条曲线绘制出AB之间的光滑曲线。

其实可以变通一下，在画笔走到C的时候（而不是走到B时）才画出曲线，也就是曲线和画笔的位置有一步的延迟，这样走到C的时候就可以确定ABC三点。

但是这里还存在一个问题，三次样条曲线需要制定两端点的斜率，当画笔走到C时，如果要画出ABC之间的光滑曲线，需要知道A点的斜率和C点的斜率，当画笔走到D时，需要知道B点的斜率和D点的斜率。

其实A点和B点这种（不是最后一个端点）的斜率还是可以给出的，但C点和D点这种最后一个端点的斜率缺无法给出，因为当画笔走到C时，无法确定下一个D点的位置，所以无法确定CD的斜率，也就没有办法确定C点的斜率。

也曾考虑过当画笔走到D点时再绘制前3点的曲线，但是如果这样，那么假设存在下一点E，那么走到E的时候，ABC之间的曲线已经存在，这个时候仅需要绘制CD之间的曲线，又和以开始的绘制3点之前曲线有冲突。延伸下去考虑，其实在D点以后，问题已经演变为画亮点之间光滑曲线，因此把前3个点的问题也转化为2点之间光滑曲线的问题。

可以考虑的方法是：

1、前提条件是曲线永远比画笔延迟一步(这在实际绘制过程中用户是完全察觉不到的)。

2、当走到C点时，绘制AB的曲线，走到D点时，绘制BC的曲线。

3、两点之间的光滑曲线使用“两点三次埃尔米特”公式求曲线方程。

由于两点三次埃尔米特方程也需要给定两端点的斜率，因此问题又回到求斜率的问题上。

继续思考一下，假设A点是起始点，那么画笔走到C时要绘制AB两点之间光滑曲线，需要给定A点和B点的斜率，由于A点是开始点，所以给定斜率比较麻烦（也不是不可能），可以将问题转化为起始点A的斜率等于直线AB的斜率。

那么B点的斜率是什么样呢，由图可知B点斜率介于AB斜率和BC斜率之间，所以可以近似取为AB和BC斜率的一半（AB和BC的中间线）。这样就可以通过两点三次埃尔米特公式计算出AB两点间的曲线了（实际上根据这个方法绘制的AB间为直线）。

继续走到D点，走到D点时需要绘制BC点的曲线，由于在C点时已经计算了B点斜率为AB、BC的中间线，所以B点斜率已知，同样方法可以取C点斜率为BC、CD中间线为C点斜率，这样已知BC两点斜率再通过两点三次埃尔米特公式即可求得BC之间曲线方程。

以此类推可以跟踪画笔绘制出光滑曲线。

本方法的局限性有3：

1、B点处1阶、2阶导数不连续（因为AB为直线，而BC为三次曲线），可以通过近似给得A点斜率方法弥补，不做赘述。

2、曲线始终滞后画笔一个步骤（这在实际中用户无法感觉到）。

3、由于中间端点的斜率始终取为两条相交直线的中心线，所以理论上相对于三次样条曲线不够精确（也许光滑度和曲线形状上欠佳）。

但实际根据以上思路实现之后发现基本上是感觉不到局限性的，所绘制曲线比较另人满意。

由于本人水平有限，还没有考虑出更好的方法跟踪画笔绘制出光滑曲线。也许本文提到的方法可以进一步优化。我会继续研究。