【自然辨证法】芝诺悖论的终结与延续——对于无穷，极限的探讨
芝诺悖论的终结与延续——对于无穷，极限的探讨
摘要：本文主要分析了芝诺关于运动学的四个悖论：1、二分法悖论。2、阿基里斯永远不能追上乌龟。3、飞矢不动。4、一半的时间可以等于一倍的时间，总结了在看待和解释这些悖论所引起的矛盾方面，众多学者提出的各种不同见解。接着对芝诺悖论进行里更深层次的探讨，引出了无穷的概念，讨论了极限、无限趋近，以及相等之间的矛盾关系。最后在解答的过程种给出了悖论的结论，描述了其在数学界和物理界掀起的巨浪。
关键词：芝诺悖论 无穷量 极限 微变量
引言
古希腊的数学家、哲学家芝诺曾提出过四个有关运动学的悖论，这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺所“创造”的乌龟，与薛定谔的猫、拉普拉斯兽、麦克斯韦妖并称为物理学四大神兽，足可见芝诺思辨的智慧和魅力。芝诺提出悖论的原始目的是为了说明世界是统一的、静止的、存在是一而不是多。芝诺不是要真的否定现实中可以感觉到的运动，而是对现实运动矛盾的一种惊讶。两千多年来，吸引多少哲学家、科学家和智慧爱好者们围绕着它们绞尽脑汁、争论不休。
历史上学者们的见解
一种典型意见是利用经验或实验来证明芝诺的推理是错误的[3]。最早的经验反驳提出者是古希腊时代犬儒学派的创始人第欧根尼。据说当他的学生向他请教如何反驳芝诺时, 他一言不发, 在房间里走来走去, 学生还是不理解, 他说, 芝诺说运动不存在,我这不是正在证明他是错的吗？
显然，所谓的经验反驳者并没有真正理解“悖论”的实质。第欧根尼的解法也不具有太多的哲学意义。
亚里士多德对芝诺的观点进行了反驳，他解释说：“认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上，但是，如果芝诺允许它能够越过所规定的有限距离的话，那么它也是可以被赶上的”。
亚里士多德好像触及到了悖论的本质，但是他没有深入地讨论下去，只是表面性地进行反驳，这种解释哲学分量不够充分。
黑格尔在解释芝诺悖论时，假定运动慢的物体在某一个时段走过一个空间的量，实际上运动快的物体在这个时段中甚至可以走过两个空间的量，因而走得慢的物体自然就失去了优势。他仅仅是抓住了芝诺错误的结论，而没有抓住芝诺为什么错误的原因。
近代学者如策勒，伯奈特、基尔克等人也对芝诺悖论做过解释[2]。虽然诠释者们的解释鞭辟入里，颇具价值，但是他们基本上还是没有离开亚里士多德和辛普里丘等人解释的窠臼。
列宁在黑格尔分析的基础上，敏锐地看到了芝诺悖论反映了运动的矛盾统一性这一本质。他中肯地指出：“问题不在于有没有运动，而是如何在概念的逻辑中表达它”。
罗素说:“解决就在于连续系列的理论。我们看到很难不假定, 箭矢在飞行时在下一个瞬间占据下一个位置, 但是事实上并没有下一个位置,也没有下一个瞬间,一旦在想像上领悟了这一点, 就可看到这个困难消失了”。
芝诺的悖论是一个假命题，却蕴含深刻的意义。他的论证从反面揭示了时间和运动之间的矛盾性，对辩证法的发展和完善产生了深远的影响。在哲学上，芝诺被亚里士多德誉为辩证法的发明人，黑格尔在他的哲学史演录中指出：“芝诺主要是客观的辨证的考察了运动，并称芝诺为‘辩证法的创始人“。
芝诺悖论的数列解法
现在，我们当然还可以借助微积分，数列求和法，对芝诺问题给出数学上的解法：
二分法：如果一段长为2米的距离，我们第一次先走1米，再走第一次的一半，1/2米，接着再走前一次的一半，1/4米，依此类推，走的总距离为S=1+1/2+1/4+1/8+……+……,是一个无穷数列的求和。可以用错项相减的方法求得S=2m，最终我们还是能走完这2米的距离。学过等比数列的方法，还可以直接求解得S=2m。
阿基里斯悖论：
数学上的求法，实际上把问题转化为了对无穷收敛级数的求和，阿基里斯追上乌龟需要的总时间为[1]：//公式1
用求极限的方法，算出t=1000/(v阿-v乌)
由于v阿>v乌，所以阿基里斯追赶乌龟所需要的总时间t=1000/(v阿-v乌)是个有限值。求极限意味着我们可以无限接近一个确定值，却始终与该确定值相差一个无穷小量。求极限涉及无限相加的问题，这在操作上仍然是无法实现的。
从上述式子可以看出，无穷多项求和可以是一个有限数，这说明了有限与无穷之间的辩证统一及相互转化关系[4]。
当然，无穷多项相加不一定总是有限数．
假如运动者走第一个半程需要的时间为T，而走第二个半程所需时间为T /2，第三个半程所需时间为T /3，以此类推，运动者所需的总时间为T + T /2 + T /3 + T /4 +… = T( 1 + 1 /2 + 1 /3 +…) ．这样形成的调和级数当然是发散的，也即其“和”不是有限值。
引入无穷、极限的概念
这里引入了无穷，极限的概念，无穷，无论是在实际演绎，还是理论中，都总是让人难以理解的。甚至我们都只能将一张白纸对折7到8次，无穷和极限对我们来说，实在是太大的量了。
我国历史上有许多著名的格言，对“积少成多”作过生动的阐述[5]。诸如“天下之势，积渐成之也”；“九层之台，起于垒土”；“不积跬步，无以至千里；不积细流，无以成江海”等等．这种种说法都蕴含了任何微小的事物，经过无数次的积累，必将成为庞然大物的意思。
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是《庄子·天下篇》中的一个非常著名的辩题，在现代极限理论中常常引用它作为例证。
芝诺的前两个悖论揭露了连续时空所导致的矛盾，而后两个悖论揭露了离散时空观所必然导致的矛盾。从我们的分析可以看出，在极限思想下，连续时空与芝诺的前两个悖论并不矛盾。因而时空是连续并无限可分的，但这也不能说明时空不具有离散性，因为还没有确切证据证明连续与离散是绝对对立的。
极限运算作为一种高级运算，成为了有限和无穷之间的桥梁。在极限思想之前，有限与无穷是对立的。
但是，极限还是有没说明的问题，就是，追不上乌龟的阿基里斯，是怎么从几乎追上，到追上的呢？lim->0的项，始终不是0，无限接近的量，始终不是相等的，然而阿基里斯却实实在在地能够追上乌龟，那么，在极限邻域里，无限趋于0的项，是如何最终等于0的呢？
举一个例子，如果阿基里斯在跑步一半时，举一面黄旗，接着跑剩下距离的一半时，举一面绿旗，如此往复，当他追上乌龟时，他举的是什么颜色的旗子？回答不出这个问题，是因为我们没办法解释这个从极限到相等的过程，是怎样发生的。
关于无穷里的无穷大量，或者无穷小量，我们也难以诠释得清楚。牛顿在利用微积分计算曲线下面积的时候，曾用宽度无限接近0的矩形来替换面积，在推导这个lin->0的宽度(三角形x)时，即将它看成了数值0，又看成了非零的微小量。
无限多个0相累加的结果也一定还是0，而有时这种无穷小量我们也会将它看成0。
例如在求：//公式2
数学、物理领域的芝诺悖论
物理量子力学在解释芝诺悖论时，认为空间与时间是不能无限细分的，我们都知道普朗克长度，也就是物理学上有意义的可测量的最小长度。一般认为，达到这个普朗克长度之后，任何长度就没有意义了//公式3
所以，当乌龟和阿基里斯之间的距离达到一个普朗克长度距离的时候，或者时间达到一个普朗克时间的时候，是无法再继续分割的，这个时候你“看“到的运动，就是阿基里斯直接”跨过“一个普朗克长度，时间也正好过去了一个普朗克时间大小的时间，并顺利追上了乌龟。
1和0.999999999……（无穷）又什么关系呢？毕达哥拉斯认为1>0.9999……，1-0.9999……>0；芝诺认为1=0.9999……但1-0.9999…>0；巴门尼德则认为1-0.999…=0或者1-0.999……>0欧拉证明：//公式4
结语
寻求阿基里斯追乌龟悖论的解答的过程，是人类认识不断深入发展的历史过程。数学分析无法解答阿基里斯追乌龟悖论，显示了形式逻辑的局限。唯物主义立场有助于我们认清物理运动和数学分析的因果顺序，辨证法帮助我们理解运动过程本身[1]。
《小王子》作者安托万虽然不是哲学家，但他的箴言却很适合放在这里，如果你想造艘船，别召集人们去收集木材，别给他们指派任务和工作，而要教他们向往浩瀚无垠的大海。在有限的时间内，也能创造出无限种可能，芝诺悖论正是给我们描绘出了哲学、数学、物理学等领域的星辰大海。
参考文献
- 成良斌, 熊文娴. 自然辨证法讲义(内部资料). 武汉: 华中科技大学, 2019
- 汪天文. 芝诺悖论的终结[J]. 福建论坛(人文社会科学版), 2004(05): 36-40
- 刘二中. 芝诺悖论若干解释的辨析[J]. 自然辩证法研究, 2008(08): 109-112
- 韩锐锋, 冯炎, 郝自军. 芝诺悖论分析及极限解释[J]. 宁夏师范学院学报, 2016, 37(06): 106-109
- 郭龙先, 刘秀. “尺棰命题”的悖论何在[J]. 广西民族大学学报(自然科学版), 2012, 18(02): 7-11+68