P1809【USACO2.3.1】Longest Prefix最长前缀 IOI'96

P1809【USACO2.3.1】Longest Prefix最长前缀 IOI’96

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问题描述
在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序列分解成较短的序列（即元素）很感兴趣。
如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（元素可以重复使用，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符）组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。元素不一定要全部出现（如下例中BBC就没有出现）。举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素：
{A, AB, BA, CA, BBC}
序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一个大写字母序列 S ，设S’是序列S的最长前缀，使其可以分解为给出的集合P中的元素，求S’的长度K。

输入格式
输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。

输出格式
只有一行，输出一个整数，表示 S 符合条件的前缀的最大长度。

样例输入
A AB BA CA BBC
.
ABABACABAABC

样例输出
11

关于这道题目的思路

本来读完题目准备瞎暴力过一个的，因为毕竟哈希，感觉哈希都是瞎逼暴力就过了

然而，细心的我注意到了这大的吓人的数据范围，然后果断舍弃了背包
（假的…真实原因是我不知道怎么把字符串都连起来，然后被迫写了个简单的算法）

但是据说这道题目暴力背包也能过，就是时间没保证

说正事

对于这种动不动就几百万上下的数据的题目，我们当然不能乱去暴力
尤其是这种输入都要给你把一串分成几串的题目
它连输入都给你乱分了，你当然要怼回去，把它分得更细

于是，做法就出来了
分治

好吧讲一下真实的思路

分治这个是一定想得到的，因为这么大的数据一次性处理时间复杂度难以估计
尤其是上面那些分段的元素个数还很吓人的情况下

但是怎么分呢？？

这就要注意到一个小细节
每一个元素最大的长度是10啊
这就是说，我们判断某一段能不能构成元素，最多最多就只需要判10个字母就行了

然后考虑到暴力地一个一个去算的最大运算次数超过了（55n）次
这就很不科学，因为每一个元素我们最多需要调用10次（它作为元素开头一直到它作为元素结尾），而且你还要判定
那么我们能不能把调用次数减少一次，从而使每一个数据的最大运算次数由55次变到10次呢？？

答案显然是可以的，不然我上面说的岂不是废话

用滚动数组的想法
由于有些DP的状态DP（n）只与DP（n-1）有关
所以滚动数组选择只记录DP（n-1）的数据

那么我们算的数据更小，只与前10个字母有关
于是我们希望得到下面这样的状态

以长度为5为例（真实长度为10）

当我们第一个加入元素A时，设A的哈希值为a

Title	1	2	3	4	5
当前字符	a

加入第二个哈希值为b的元素B，AB合并的值简单设为ab

Title	1	2	3	4	5
当前字符	b	ab

然后加入第三个哈希值为c的元素C

Title	1	2	3	4	5
当前字符	c	bc	abc

这样一来，我们每加入一个元素，经过至多10次运算，就可以将以次元素为尾的所有可能的字符串的哈希值都算出来，然后再10次判定即可

同时，为了消除顾虑，我们来看看上述列表饱和时加入新元素的情况

已加入abcde

Title	1	2	3	4	5
当前字符	e	de	cde	bcde	abcde

然后加入f
得到

Title	1	2	3	4	5
当前字符	f	ef	def	cdef	bcdef

没错，a元素被挤出去了，这样我们就能够得到f为尾的长度为1-5的子字符串长度了

那么如何判定呢？
我们选择通过记录当前字母是否可行，并且让当前字母跟随上述列表一起滚动的方式进行判定

Title	1	2	3	4	5
当前字符	a
可行性	1	0	0	0	0

当前列表表示到a为止整个前缀都可行

经过数轮滚动及判定之后得到
其中，a和bcde为可行元素

Title	1	2	3	4	5
当前字符	e	de	cde	bcde	abcde
可行性	1	0	0	0	1

当前列表表示的并非abcde和e可行
而是到a为止的前缀和到e为止的前缀可行
判定过程如下

我们得到a可行，并在加入元素e之后，判定到bcde是可行的
于是我们想要知道bcde之前的字符串是否是合法前缀
于是我们调用bcde之前的那一个记录值，记录的即是bcde之前的前缀是否可行
即可判定

具体原因如下：
    a可行，于是经过一轮添加元素之后，a原本的为止要右移一位
    于是记录a可行变成了记录ab可行
    但是实际上我们记录的是到a为止（即当前字符串第一个字母为止）的前缀是否可行
    所以同理，经过4次添加元素之后，我们就有了abcde记录值为1
    但实际上它的意思是a为止的前缀可行

然后，由于判定为1
我们就可以记录到e为止的前缀可行，于是记录e的值为1

过程简单描述结束

有一点细节你可能需要注意

1、滚动要从后往前滚动
2、边界条件很刁钻，需要谨慎地思考
3、需要一个数字来记录当前元素的为止，以便更新答案
4、运用哈希表能够做到运算后快速判断
5、可提前结束程序，条件是当前列表中无1，表示从上一个可行前缀到目前为止10位，没出现一个可行元素，那么即使之后的元素可行，由于对之前元素为止前缀可行性的判定一定为0，不可能再成立了

就是这些，感谢观看

附上源代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int ans=0,zero=0;
unsigned int add[11]={1};
bool ze,flag,haha[598765],Jud[12]={0,1};
char use[11],mem[98];

void HASH()//用于记录元素的哈希值
{
    unsigned int Hash=1,n=strlen(use);
    for(int i=0;i131+use[i];
    haha[Hash & 0x7FFFF]=1;
}

bool mult(char c)
{
    ze=flag=0;
    zero++;//记录当前讨论字符的位置（前缀长度）
    for(int i=9;i>=0;i--)if(add[i])add[i+1]=add[i]*131+c;//更新哈希值
    for(int i=10;i;i--)
    {
        flag|=Jud[i];
        if(haha[add[i] & 0x7FFFF]&&Jud[i])
        {
            flag=1;
            ze=1;
            ans=max(ans,zero);
        }
        Jud[i+1]=Jud[i];
    }
    Jud[1]=ze;
    if(!ze&&!flag)return 0;
    return 1;
}

int main()
{
    while(use[0]!='.')
    {
        memset(use,0,sizeof(use));
        scanf("%s",&use);
        HASH();
    }
    while(scanf("%s",&mem)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<strlen(mem);i++)
            if(!mult(mem[i])){printf("%d",ans);return 0;}
        memset(mem,0,sizeof(mem));
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}