【网格 dp】B006_LC_骑士拨号器（枚举上一次所在的位置）

一、Problem

国际象棋中的骑士可以按下图所示进行移动：

这一次，我们将 “骑士” 放在电话拨号盘的任意数字键（如上图所示）上，接下来，骑士将会跳 N-1 步。每一步必须是从一个数字键跳到另一个数字键。

每当它落在一个键上（包括骑士的初始位置），都会拨出键所对应的数字，总共按下 N 位数字。

你能用这种方式拨出多少个不同的号码？

因为答案可能很大，所以输出答案模 10^9 + 7。

输入：1
输出：10

提示：

1 <= N <= 5000

二、Solution

方法一：dp

由于起点不固定，我们只能枚举所有起点，由于下一个状态由上一个状态转移过来，所以我们需要知道每一个格子可以由哪些格子调过来，于是我们初始化一个二维数组 from

• 定义状态：
  • $f[i][j]$ 表示第 $i$ 次跳跃到数字 $j$ 的方案数
• 思考初始化：
  • $f[0][0...10]=1$
• 思考状态转移方程：
  • $f[i][j]+=f[i-1][last]$
• 思考输出：$accumulate(f[N-1][0:10])$

class Solution {
    final static int mod = (int) 1e9+7, from[][] = {{4,6}, {6,8}, {7,9}, {4,8}, {0,3,9}, {}, {1,7,0}, {2,6}, {1,3}, {2,4}};
    public int knightDialer(int N) {
        int f[][] = new int[N][10];
        for (int j = 0; j < 10; j++) f[0][j] = 1;

        for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 0; j < 10; j++)
        for (int last : from[j]) {
            f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][last]) % mod;
        }
        int ans = 0;
        for (int j = 0; j < 10; j++) {
            ans = (ans + f[N-1][j]) % mod;
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N\times k)$，k 为一个较大的常数
• 空间复杂度：$O(n)$，