八皇后问题带来的思考和做题技巧

八皇后问题

紫书第191页

紫书用了3面来讲这道题，可见这道题的重要性，这种题老早就接触过，但是现在再来看发现这种题还是有许多可以再发掘的知识点；

第一：对问题的建模能力；

八皇后问题可以把它和求全排列问题归为一类，一个复杂的问题就化为了一个较为简单的模型；

第二：对算法复杂度的降低

八皇后问题的复杂度最高的在于判断是否是重复点，如果用简单的枚举前面经过的点来判断，多半是会超时的，书上用到了二维棋盘的一些小性质，大大的降低了复杂度；

第三：技巧的总结

这里的技巧还是那个二维棋盘的判断技巧，左斜对角线和右斜对角线完全可以根据坐标来进行判断，减少不必要的枚举；

模板题：

八皇后

两种代码：

超时代码：

#include
#define LL long long
#define pa pair
#define lson k<<1
#define rson k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
//ios::sync_with_stdio(false);
using namespace std;
const int N=200100;
const int M=1000100;
const LL mod=998244353;
int n;
int c[20];
int s=0;
void dfs(int p){
	if(p==n){
		if(s<3){
			for(int i=1;i<=p;i++) cout<<c[i]<<" ";
			cout<<endl;	
		}
		s++;
		return;
	}
	if(p==0){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			c[p+1]=i;
			dfs(p+1);
		}
	}
	else{
		for(int i=1;i<=n;i++){//第几列
			int ok=1;
			for(int j=1;j<=p;j++){//已经填好的皇后
				if(c[j]==i||j-c[j]==p+1-i||c[j]+j==i+p+1){
					ok=0;
					break;
				}
			}
			if(ok){
				c[p+1]=i;
				dfs(p+1);
			}
		}	
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	dfs(0); 
	cout<<s<<endl;
	return 0;
}

优化：

#include
#define LL long long
#define pa pair
#define lson k<<1
#define rson k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
//ios::sync_with_stdio(false);
using namespace std;
const int N=200100;
const int M=1000100;
const LL mod=998244353;
int n;
int c[20];
int s=0;
bool vis[3][200];//vis[0][]列，vis[1][]左下角，vis[2][]右下角 
void dfs(int p){
	if(p==n){
		if(s<3){
			for(int i=1;i<=p;i++) cout<<c[i]<<" ";
			cout<<endl;	
		}
		s++;
		return;
	}
	if(p==0){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			c[p+1]=i;
			vis[0][i]=vis[1][i+p+1]=vis[2][i-p-1+n]=true;
			dfs(p+1);
			vis[0][i]=vis[1][i+p+1]=vis[2][i-p-1+n]=false;
		}
	}
	else{
		for(int i=1;i<=n;i++){//第几列
			if(!vis[0][i]&&!vis[1][i+p+1]&&!vis[2][i-p-1+n]){
				c[p+1]=i;
				vis[0][i]=vis[1][i+p+1]=vis[2][i-p-1+n]=true;
				dfs(p+1);
				vis[0][i]=vis[1][i+p+1]=vis[2][i-p-1+n]=false;
			}
		}	
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	dfs(0);
	cout<<s<<endl;
	return 0;
}