62. 不同路径(C++)---动态规划解题(并进行滚动数组思想优化)

题目详情

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

 

示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28

 

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

 

 

——题目难度:中等

 

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分析

用dp[i][j]来表示 坐标(0,0) 到 坐标(i,j) 的路径总数，
状态转移方程大致为： dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i,j-1]

 

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-下面代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector> dp(n, vector(m));
        dp[0][0] = 1;
		for(int i = 1; i < m; i++)
		{
			dp[0][i] = 1;
		}
		for(int i = 1; i < n; i++)
		{
			dp[i][0] = 1;
		}
		for(int i = 1; i < n; i++)
		{
			for(int j = 1; j < m; j++)
			{
				dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
			}
		}
		
		return dp[n-1][m-1];
    }
};

 

 

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继续优化

由于这里 dp[i][j] 只与 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 相关
所以可以运用「滚动数组思想」来优化，这里的优化是 “时间换空间”（运行时间变长一些，所用空间变少一些）
其实相当于前一行 往 下一行的状态转移


-优化后的代码如下

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector dp(m);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
        	for(int j = 1; j < m; j++)
        	{
        		if (j > 0) dp[j] += dp[j-1];
        	}
        }
        
        return dp.back();
    }
};