卡特兰数

(最开始一直搞不清楚卡特兰数到底是什么,公式也不知道是用来算什么的)

后来看懂卡特兰数是通过 求带限制条件的路径条数 这个典型例子,所以这次就从这个例子来说

卡特兰数_第1张图片

(图片来源与维基百科)

问题:在n x n的网格里从左下角走到右上角的不经过y = x 这条线的单调路径的条数,即只能向上或向右走

如果没有限制条件,那么就是n步向上,n步向右,所以条数为C\binom{n}{2n}

加上限制条件后,画图发现所有不合法的路都会经过 y = x + 1 这条线,那么把不合法的方案中第一个经过 y = x + 1 的点为对称点,把之后的路径关于 y = x + 1 对称,画下图就可以发现,原来到(n,n)的路径,现在都是到(n - 1,n + 1),同时可以发现不合法路径与这样的路径是一一对应的

所以不合法的路径条数就是从左下角到(n - 1,n + 1),所以条数为C\binom{n-1}{n-1+n+1},即C\binom{n-1}{2n}

那么合法的路径条数就是  C_{n}=   C\binom{n}{2n}-C\binom{n-1}{2n}=  \frac{1}{n+1}C\binom{n}{2n}

这就是卡特兰数的通项公式了

还有其他的公式

递推公式1:C_{n}=C_{0} \times C_{n-1} + C_{1} \times C_{n-2}+\cdots \cdots + C_{n-1}\times C_{0}       C_{0}=1

递推公式2:C_{n} = \frac{C_{n-1} \times (4 \times n - 2)}{n+1}

 

典型应用:

1.求带限制条件的路径条数

2.求合法的括号序列的个数

3.出栈次序

4.买票找票问题     有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其                                它钞票,问有多少种方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元                                   入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

5.排队问题           现在有 2n 个人,他们身高互不相同,他们要成两排,每一排有 nn 个人,并且满足每一排必须是从矮到高,                                 且后一排的人要比前一排对应的人要高,问有多少种排法

还有一些没仔细研究的,先记下来

6.凸多边形三角划分     在一个凸多边形中,通过若干条互不相交的对角线,把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘                                         上输入凸多边形的边数n,求不同划分的方案数f(n)

7.给定节点构成二叉搜索树  

 

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