潘丽云：魏尔斯特拉斯的复变函数思想分析（2009）（2011-01-14 22:34:30）



魏尔斯特拉斯的数学成就：
一、分析
1.1在实、复解析函数方面
（复变）函数论的3个奠基人之一。
《解析函数论》（1876）一书
解析开拓
完全解析函数
用幂级数定义了本性奇点、整函数、超越整函数
整函数分解为无穷乘积
亚[半]纯函数可表为两个整函数之商
1.2在椭圆函数方面
1.3在数学分析（严密化）方面
19世纪60年代，魏尔斯特拉斯提出ε-δ语言。
19世纪60年代，魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”。
1.4变分学
二、代数
2.1二次型
三、微分几何
3.1测地线和最小曲面
四、代数几何
http://www.doc88.com/p-741680986118.html
摘要
本文采用文本分析、历史研究和比较研究方法，对魏尔斯特拉斯原始论文和讲义进行了详细、全面、系统地文献解读和分析，同时根据他的学生和其他数学史家相关主题的研究文献，以探究基本问题——魏尔斯特拉斯复变函数思想、方法与理论的形成与发展为主旨，结合实分析等领域的密切关联，剖析、梳理了魏尔斯特拉斯的复变函数理论构架，并将体现于其中的魏尔斯特拉斯复变函数思想的特征做出深刻总结和客观评价。获得了以下主要成果：
1.围绕魏尔斯特拉斯复分析思想缘起问题，兼顾外因与内因对19世纪复变函数的发展进行了考察与梳理，介绍了通向复分析三个基本途径——代数分析、积分、几何。指出了德国数学组合分析与古德曼的级数工作以及分析严格化要求的共同影响，构成了魏尔斯特拉斯发展复变函数理论的动机。
2.全面勾勒了魏尔斯特拉斯不平凡的一生，从生活轨迹到学术生涯以及教育活动等方面，概要介绍了他在不同数学领域取得的成就、思想以及教育观念。深刻体现了魏尔斯特拉斯在19世纪后半叶作为数学界领军人物的核心地位与强大的影响力。
3.详细考察魏尔斯特拉斯早期的三篇论文，从解析函数的积分表示、级数表示以及微分形式的理论论述中，得到若干重要结果如双重级数定理、柯西积分定理与洛朗级数定理等等，揭示了魏尔斯特拉斯复分析方法的出现以及复分析理论的基础。
4.探析了魏尔斯特拉斯中期的解析因子理论，反映了魏尔斯特拉斯数学思想的连贯性，通过他对复变函数理论某些基本问题的关注，体现了代数方法的研究手段。通过与复变函数关联度的考察，强调了这一阶段蕴含的数学思想对后来整体解析函数理论具有一定的思想启发力。
5.深入考察了魏尔斯特拉斯后期，即在柏林大学授课期间，完成并提交于德国科学院的论文，借助解析函数的性质并将复变函数理论一般化，说明此时魏尔斯特拉斯已将复变函数理论作为独立的理论进行研究。这一阶段是复分析理论不断深化、整体理论构架形成时期。
6.详尽分析了魏尔斯特拉斯学生的“解析函数导论”课堂笔记，更加清晰地重构魏尔斯特拉斯函数理论体系。魏尔斯特拉斯以“解析映射”概念为基本构成，进行解析延拓，从而实现由局部获得整体解析函数。完整地剖析了魏尔斯特拉斯的复变函数论思想、理论与方法。
7.探讨了魏尔斯特拉斯复变函数思想影响的张力与限度。魏尔斯特拉斯对整函数和亚纯函数的研究开启了三个方向的系统研究，对19世纪末至20世纪诸多函数论分支的发展产生深刻的启发与导向。另一方面，分析了魏尔斯特拉斯复变函数思想中代数性的局限性，当现代复变函数转向几何方向蓬勃发展时，其复变函数思想与方法逐渐式微。
关键词：魏尔斯特拉斯，复变函数，幂级数，解析延拓，算术化
引言
1选题意义
国内还未有关于魏尔斯特拉斯复变函数思想的研究专著。部分原因是因为第一手文献不易获得，目前只保存于德国科学院档案馆及德国高等院校图书馆；另外，魏尔斯特拉斯的手稿和出版物均是用德语写作，文献获取与语言两个方面的因素导致了研究的停滞。利用文献查阅以及语言上的便利条件，笔者对魏尔斯特拉斯的复变函数思想展开研究，弥补国内这一方面研究的不足。
2文献综述
首先一类是与复变函数有关的技术性及历史性专著，主要是复变函数教材及复变函数发展史的论述，而后者多以部分章节形式出现在通史类专著中。各国都有堪称经典的复变函数教材，如德国K.Knopp编写的《解析函数论基础》，美国乔治·波利亚编著的《复变函数》，龚升编著的《简明复分析》，路见可等人编写的《复变函数》等。这些教材系统介绍了复变函数的基本理论，包括解析函数、复变函数的积分、解析函数幂级数表示、洛朗展式、孤立奇点、留数理论、共形映射、解析延拓等。从教材的内容编排上可以看出，柯西、魏尔斯特拉斯以及黎曼三人的思想与理论已经整合为精辟的复变函数理论，当考察具体分支的思想演变时，这些教材是必要的理论基础。另外，关于复变函数理论的历史，一直处于中外数学史家的关注中，对这个数学分支已经有了全面丰富的研究结果。对复变函数论的起源及前史研究，多见于数学史专著或通史论述中，如M.Cantor的《数学史》，数学家F.Klein的《19世纪数学发展讲义》，数学史家Morris Kline的《古今数学思想》，A.N.Kolmogorov的《19世纪数学史》，E.Knobloch等人编著的《现代数学史》，H.N.Jahnke的《分析史》，V.J.Karz的《数学史通论》，以及我国数学史家李文林编写的数学史论著等。上述通史著作勾勒出复变函数理论大致的发展轨迹，对代表人物的核心思想进行提纲挈领的概述，囿于著作性质，未能展开对具体复变函数思想的分析。
其次是关于人物传记的著作，不仅在数学人物辞典中有魏尔斯特拉斯的生平介绍，而且他的朋友、学生以及后来的学者都有人物研究的文章。如他的学生荣格、米塔-列夫勒的回忆文章，与魏尔斯特拉斯有直接接触，又是当时历史的亲历者，所以他们的文章对于当时的学术状况，数学背景以及魏尔斯特拉斯活动的记述是比较可靠、全面，对于理解魏尔斯特拉斯在柏林学术界产生的影响具有很好的启示作用。此外，还有魏尔斯特拉斯的纪念文集，这是1965年在他的家乡威斯特法伦地区召开的纪念魏尔斯特拉斯诞辰150周年的会议之后，将此次会议论文结集出版的纪念文集。
3研究目标
4结构编排
通过全面考察魏尔斯特拉斯整个学术阶段的复变函数工作，将其复变函数理论研究划分为三个阶段：1840年至1842年、1843年至1855年、1856年至1895年，分别是他奠定复变函数理论基础、研究转折以及理论独立发展时期。根据魏尔斯特拉斯的手稿与学生笔记，详尽地阐述他处理复变函数问题的具体方法与思路。全文共分七章，各章结构与内容简要概述如下：
第一章，综述了复分析发展至十九世纪的历史与现状，梳理了从十八世纪复变函数的肇始到十九世纪复变函数的兴盛的发展脉络。借助十八世纪欧拉和达朗贝尔的结果，复分析具备了独立发展的条件，十九世纪阿贝尔和高斯做出各自贡献，因此从代数分析、积分、几何三个方向讨论了通向复分析的途径；并在此基础上形成了三位数学家柯西、魏尔斯特拉斯、黎曼的奠基性工作，三者的独立发展在二十世纪实现了统一。
第二章，详尽介绍魏尔斯特拉斯的数学启蒙及人生历程，分两个阶段：魏尔斯特拉斯前四十年生活和后四十年人生轨迹。
第三章，详尽考察了魏尔斯特拉斯早期（1840-1842）论文中的解析函数思想与方法。1840-1842年间魏尔斯特拉斯完成四篇论文，除了第一篇关于椭圆函数的文章外，其余三篇都与解析函数有关。这一章重点分析这三篇关于解析函数的论文：《变量绝对值介于两个给定边界之间的单复变解析函数的表示》（1841年）、《幂级数理论》（1841年秋）、《用代数微分方程定义单变量解析函数》（1842年春）。指出魏尔斯特拉斯复变函数思想在开启其数学研究时便已经清晰呈现，虽然他本意是出于阿贝尔函数理论的基础研究，但是他独立于柯西得到的复积分定理和积分公式，以及解析函数的幂级数表示却形成了具有魏尔斯特拉斯特征的解析函数核心概念与定理。
第四章，主要阐述魏尔斯特拉斯中期（1843-1855）在椭圆函数理论中的解析函数工作。他这一时期的数学研究工作以阿贝尔函数为重点。在中学教学之余，先后完成了三篇文章：《解析因子的注记》（1843年）、《一个三重定积分的简化》（1844年）、《阿贝尔积分理论》（1849年）。他将阿贝尔理论和解析因子的文章进行整理、扩充分别发表在《克雷尔杂志》上第49卷（1853年）和51卷上，《阿贝尔理论》一经发表便引起数学界强烈反响，给他带来人生转机。他着眼于阿贝尔函数的研究，削弱了对复变函数理论的关注，然而他的解析因子理论或多或少地延续了复变函数思想。魏尔斯特拉斯对一类解析因子函数的性质研究为后来的分解定理做了思想上的铺垫以及为解析函数类整函数的零点构造提供了研究思路。
第五章，详尽论述了魏尔斯特拉斯在柏林授课生涯中（1856-1895）复分析思想的深化。本章主要以魏尔斯特拉斯在柏林任职期间，深入研究了发表在柏林科学院院刊上的解析函数理论文章：《单值解析函数理论》（1876年）、《复变量理论》（1884年）以及1879年的一份手稿《多变量解析函数论的几个相关定理》[这篇文章和前面提到的1876年《单值解析函数理论》文章在1886年统一编辑为《函数论》，按照文中先后顺序，包括：1.1876年《单值解析函数理论》1-52页；2.1880《关于米塔-列夫勒的一个函数定理》53-66页；3.1880《函数论》67-104页；3.1879《多变量解析函数论的几个相关定理》105-164页；4.1876《多变量周期函数理论主要定理的新证明》165-182页。]，阐明他通过解析函数基本概念（如解析函数、连续域、正则性、奇点）的界定、奇点理论的构造（本性奇点、非本性奇点等）、各类函数性质及定理的明确（如整函数、超越函数等）实现了复分析思想的深化 。
第一章 历史与背景概述
1.1概述
1752年，达朗贝尔在解决与流体动力学相关的问题中，第一个建立了今天所谓的柯西-黎曼方程u_x=v_y，v_x=-u_y，并发现，一个复变量z=x+iy的函数f(x+iy)=u+iv能够写成实部和虚部。
1761年，达朗贝尔证明了u和v满足方程，这个方程我们今天称之为拉普拉斯方程：
△u=u’’_x+u’’_y=0，△v=v’’_x+v’’_y=0。
这是拉普拉斯在1770年研究旋转体的关系中发现的。实际上，欧拉在1752年就已经在流体运动中发现了这个方程。欧拉在1748年的《无穷分析引论》中已经广泛使用复数和复变量，尽管他没有明确定义。他后来在1771年《代数引论》中写到，“因为现在所有的可能的数，总可以想象，不是大于零就是小于零，或者等于零；这样就很清楚，负数的平方根计算不出可能的数：因此我们必须说，这些数是不可能的数。这种情况引导我们到数的概念上来，它们的本质是不可能的，一般是虚数，或称为构造的数，因为它们仅仅想象而不是定义的数”。
欧拉发展了许多技术，一方面应用在弹道几何理论以及球面映射到平面上的理论，另一方面应用在积分理论中，这些技术都是建立在复变函数的基础上。1777年和1781年，欧拉在圣彼得堡科学院完成的论文中研究了积分∫Zdz，这里z=x+iy，以及Z=M+iN。他断定，积分具有形式P+iQ，这里P=∫Mdx-Ndy以及Q=∫Ndy+Mdx。用现代的话来说，欧拉注意到了，正如他之前的达朗贝尔，M，N与P，Q一样是共轭的调和函数。特别是他将上述等式应用于实积分。
达朗贝尔和欧拉的结果（包括欧拉的完美公式e^(ipi)+1=0）明确后，复分析就发展为现代数学中单独的一个领域，然而在19世纪时才通过柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯发展壮大。形成了三支不同传统路线：柯西的分析路线、黎曼的几何路线以及魏尔斯特拉斯的代数路线。在20世纪初的前十年才以统一的观点建立单变量复变函数的现代理论。

1.2.2积分之路通向复变量函数
伴随着复数的讨论，18世纪达朗贝尔、欧拉和拉普拉斯的研究工作也与复变函数联系在一起。他们在高斯以及韦塞尔、阿尔冈建立复数直观意义即把复数与平面向量对应起来解决实际问题的几何表示的基础上，对单复变函数理论进行了探索。如达朗贝尔明确了一个复函数的实部和虚部[达朗贝尔在他的流体力学论文《试论流体阻力的一个新理论》中讨论的。]；欧拉指出了如何让利用复函数计算实积分的值（1793，1797）[从1776年起到1783年逝世时止，欧拉写了一系列论文其中有两篇是在1793年和1797年发表的，涉及利用复函数计算实积分。]，事实上就是沿着复平面上过原点的一条射线积分，利用这样的方法去求一些积分的值；拉普拉斯也使用了复函数去求积分的值（1782-1812）[从1782年到1812年发表他的名著《概率分析理论》为止的一系列论文中讨论了这些问题。其中拉普拉斯附带引进了我们现在成为解微分方程的拉普拉斯变换。虽然欧拉的相关讨论发表时间上比拉普拉斯晚，但是工作的完成要先于后者。]，同欧拉一样，把实积分转换为复积分来计算实积分的值。
在复变函数理论的基础方面，高斯引进了单复变函数的一些基本概念。1811年他在给贝塞尔的一封信中指出积分∫φ(x)dx通过不同的路径时，只要φ(x)在两路径所围成的区域内是单值且有界的，那么积分值是唯一确定的。而当φ(x)变为无穷时，积分值可以有多个，这取决于选取的闭路径围绕φ(x)变为无穷的点的次数。
泊松(S.D.B.Poisson，1781-1840)在1815年至1820年间研究了沿复平面上的路径所取的复变函数的积分，指出沿着一条虚路径，同沿一条实路径的积分值不一定相同。他是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人。虽然高斯和泊松得到这些基本结果，但是却没有发表过更重要的关于复变函数的文章。因此称得上复变函数理论的建立者，首先应是柯西（1789-1857）。
1814年，柯西的工作转向复分析领域，这一年他在巴黎科学院宣读了论文《关于定积分理论的报告》，但直到1825年才送去发表，于1827年出版，加了两个注解，大致反映了期间复函理论的发展和高斯影响的痕迹。论文关于非实积分的值，这是复变函数论的第一篇重要论文。他在论文的引言中不仅提到欧拉，而且还有拉普拉斯、泊松以及勒让德的新工作[即勒让德的著作《积分学练习》（1811-1817）]，并认识到通过归纳获得更多的积分计算，是建立在“实到虚过渡的”基础上，为此，柯西寻找“直接且严格的方法”建立这个“过渡”。
他在《报告》中首先考察了等式
δ[f(y)y_x]/δz=δ[f(y)y_z]/δx，----(1.1)
其中y是关于x,z的函数，即y=y(x,z)。“直接通过微分”能够验证这个方程，并当y“一部分是实，一部分是虚”时这个等式也同样成立。将有y=M(x,z)+iN(x,z)和f(y)=P’+iP’’。将这两个式子代入到(1.1)式，获得方程组：
S_z=U_x;T_z=V_x----(1.2)
柯西认为，方程组(1.2)包含了“实到虚积分过渡的一般理论”。其中P’，P’’是M，N的偏导数。从(1.1)就可以推导出所谓的柯西-黎曼方程[后来黎曼在1846年在复变函数方程W=f(z)=P(x,y)+iQ(x,y)中，其中P(x,y),Q(x,y)是关于实变量x，y的两个实函数，z=x+iy，以比较dW/dz=dy/dx为出发点，得到当且仅当dW/dz之值与dz无关时，W为解析函数。从而独立得到了所谓柯西-黎曼微分方程]。
柯西这篇论文的第一部分是关于方程组的应用，在一个矩形区域内对方程组(1.2)积分，函数S，T，U，V是积分区域内的正则函数。接下来他提到代换M(x,z)=x，N(x,z)，并通过适当地选择函数f(y)，就能够确定一些特殊积分，如
∫[0,∞]e^(-x^2)cos2xzdx或∫[0,∞]e^(-x^2)sin2xzdx。
因为他首要的目的是为了计算积分值，所以他没有注意到在这种情况下从公式(1.1)中推导出（柯西-黎曼）方程。
然而值得注意的是，虽然柯西这样宣称，但是确实没有明显指出怎样包括了复函理论。柯西和他同时代的人沿袭了欧拉、拉普拉斯的做法，用复函数来计算实定积分的值。这个方程组与每一个“虚”函数P’+iP’’都有关。勒让德和泊松指出，柯西举的所有的例子是熟知的，而且他使用虚数“完全是分析的法则”之内。
这篇论文的第二部分研究了定积分的一种特殊方式，柯西称之为“奇异积分”。和高斯一样，泊松也注意到了公式∫[a,b]f’(x)dx=f(b)-f(a)，当f’(x)在积分区间为无穷时导致错误。但是柯西的复域上的积分在19世纪20年代才被系统的研究。
1821年，在柯西的《分析教程》中，将一个复函数理解为一个具有两个实函数的函数，“每一个虚方程仅仅是实量间的两个方程的符号表示”，即两个实的部分是复函数有意义内容，而没有把复函数作为基本实体，即没有考虑复变量的复变函数。
1822年，在他论文《无穷小计算课程的总结》的注解中给出了一个结果，是沿着一个长方形边界的复积分下的柯西积分定理，指出在这种情况下积分和路径无关。
1825年，柯西完成另一篇文章《关于积分限为虚数的定积分的报告》，但这篇文章直到1874年才发表，是他最重要的也是数学史上最瑰丽的论文之一。在这篇论文中，他再次以复值代替∫[a->b]f(x)dx中的常数及变数的方法来计算积分。然后给出复函数的积分定义，将复变量函数的定分定义为和数的极限，平行于实函数中积分的定义，即分割-作和-取极限的步骤。[详细讨论了复变函数的积分∫[x0+iy0->X+iY]f(x)ds,其中z=x+iy．他定义这个积分为∑[v=0->n-1]f(x_v+iy_v)[(x_(v+1)-x_v)+i(y_(v+1)-y_v)]的极限，其中x0，x1，…，X及y0，y1，…，Y是沿着从(x0，y0)到(X，Y)的路径的分划点．他叙述并证明了：若f(x+iy)对于x0≤x≤X和y0≤y≤Y为有穷并连续，那么∫[x0+iy0->X+iY]f(z)dz的值与x=Φ(t),y=Ψ(t)的形式即与路径无关。]进一步指出复积分的一个性质，若在两条不同的路径之间没有复函数的间断点，则积分与路径无关，这个结果将柯西以前沿矩形区域成立的结果普遍化了。他还考虑了函数在矩形内部或边界上不连续时将发生什么事情，当函数在某一点无穷，有一个单极点的话，积分的差是积分留数的2pii倍，提出了“积分留数”的概念，并给出了留数的表达式。留数的概念及发展是柯西的一个重要贡献。他引入这些概念的目的是计算定积分的值，这也就使他发展复函理论时留有积分的特征。
1831年，柯西在《分析与数学物理练习》中（这篇论文同样也很晚才发表），给出了函数可展为麦克劳林级数判别法则，用了一个强级数的比较级数。在这个定理的证明中，得到的结果就是我们现在所谓的柯西积分公式f(z)=(1/2pii)∫_0.[f(t)/(z-t)]dt。其中c是区域D的边界，而z是D内任一点。
1846年，柯西完成了另外一篇关于复函数的重要论文《伸展到一个闭曲线的所有点的积分》。他将解析函数沿着一个单连通区域边界的积分与在整个这个区域上的积分联系起来，证明了在整个平面内的解析函数的积分值为零，得到了复函数与路径无关的基本定理的新证明。并且将矩形区域推广到不相交的闭曲线。
与1814年、1825年、1826年的论文不同，1846年的论文中柯西对复函数的观点发生了变化，他从关心复函数应用于实积分计算方面转变到复函数理论本身，并且建立了理论基础。因此，他也就对多值函数的积分有了考查，指出多值函数的积分与积分路径有关。但是柯西关于多值函数的积分概念仍旧有些模糊。
这些年中几乎是柯西一人发展了复函数理论，到1843年，洛朗（1813-1854）才有了新的结果：复函数在孤立奇点的圆环上展开成收敛幂级数，即洛朗定理。这个定理实际上由魏尔斯特拉斯早于洛朗两年就已得到，但魏尔斯特拉斯并没有公开发表他的这一结果，关于这一点，后面的章节中有详细论述。
1850年，Victor-Alexandre Puiseux研究了多值函数的问题。第一次明确分了极点与支点，并且引进了本性奇点的概念，即一个无穷阶的极点，在这个概念上，同样有魏尔斯特拉斯的独立工作，毕竟魏尔斯特拉斯从幂级数的角度研究复函数，就无法回避这些概念。此外Puiseux证明若复函数沿着不包含支点也不使函数无穷的点路径积分，则积分值就不依赖路径。Puiseux改进了柯西把函数展开为麦克劳林级数的定理，指出复函数在支点不是零处附近的展开式必须含有变量到支点差的分数次幂。
1851年，柯西在《报告》中的论文中，更严谨地给出了复函数的性质，肯定了复函数本身及其导数的连续性对于幂级数展开式是必须的条件。柯西在这一年的论文中引进了新的术语——单值函数（Monotypique），单演函数（Monogen）与全纯函数（Synectique）。对于某一区域内每一个变量，函数为单值时，就是Monotypique；若对于每一个复变量，它恰有一个导数，即导数与路径无关的函数则为Monogen。魏尔斯特拉斯在研究复函数时，也提出了单演函数的概念，但意义完全与柯西的不同，下文论述。若一个复函数永不为无穷、有一个导数且单值则成为Synectique。后来（Charles A.A.Briot，1817-1882）和（Jean-Claude Bouquet，1819-1885）引进了“holomorphic”代替“Synectique”，指全纯函数，并用“Meromorphic”指代亚纯函数，即在区域内只有极点的函数。
附录三 魏尔斯特拉斯《著作》全集目录及前言
1.Karl Weierstrass,Mathematische Werke,(Anhandlung Ⅰ)[论文：共356页]
1.模函数的展开（及注释）1840年夏，Westernkotten in Westfalen 1-50
2.变量绝对值介于两个给定边界之间的单复变解析函数的表示1841年，明斯特51-66
3.幂级数理论 1841年秋，明斯特67-74
4.用代数微分方程定义单变量解析函数（及注释）1842年春，明斯特75-84
5.解析因子的注记【1842年秋至1843学秋（1842至1843学年）德意志克罗恩中学年刊增刊】1843年8月Deutsch-Crone
6.一个三重定积分的简化 1844年Deutsch-Crone
7.阿贝尔积分理论【1848-1849学年Braunsberg高级中学报告增刊】1849年7月17日Braunsberg
8.阿贝尔函数理论（及注释）【发表于克雷尔的《纯粹与应用数学杂志》49卷，1854，s.289-306】1853年9月11日Saline Westernkotten in Westfalen
9.解析因子理论【发表于克雷尔的《纯粹与应用数学杂志》51卷，】
10.科学院就职演说【1857年7月9日柏林科学院的公开会议】
11.利用对数对代数微分进行积分【摘自1857年2月26日皇家科学院月刊】
12.二阶齐次方程理论及其在小波理论中的应用【柏林科学院月刊，1858年3月4日，s.207-220】
13.代数基本定理的新证明【在1859年12月12日皇家科学院月刊上读到的】
14.椭球上的大地线【柏林科学院月刊，1861年10月31日，s.986-997】
15.关于超椭圆微分方程的积分的注释【柏林科学院月刊，1862年，s.127-133】
16.常系数线性偏微分方程的积分【v.卡瓦列夫斯卡娅发表于《数学学报》第6卷，1884年，s.254-279】（及注释）（这篇蚊帐写于1861年，并在1863年和卡瓦列夫斯卡娅的研究结果一统发表在科学院月刊上）
17.阿贝尔函数论【摘选《克雷尔杂志》第52卷，这只节选了原文的一部分，因为超椭圆函数经过修订在以后几卷中出版，这一卷与椭圆函数及其重要内容相关】
2.Karl Weierstrass,Mathematische Werke,(Anhandlung Ⅱ)[论文：共363页]
1.关于一类实周期函数（皇家普鲁士柏林科学院月刊，1866，s.97-115,185）
2.双线性二次型理论（柏林科学院月刊，1868，s.310-338）
3.一般单值且2n个周期的n个变量函数（柏林科学院月刊，1869，s.853-857）
4.狄利克雷原理
5.多变量周期函数理论主要定理的新证明（柏林科学院月刊，1876，s.680-693；选自函数论的论文（柏林1886），s.165-182）及注释
6.关于一个实变量函数，其导数处处不存在。
7.一个常系数微分方程组的积分的注释
8.单值解析函数理论（柏林科学院数学论文，1876，s.11-60；选自函数论的论文，s.1-52）
9.r个变量的2r个周期的函数研究（《纯粹和应用数学杂志》，89卷（1880），）
10.多变量解析函数论的几个相关定理（手稿，柏林（没有年代）1879；出自函数论的论文，s.105-164）
11.关于米塔-列夫勒的一个函数定理（柏林科学院月刊，1880，s.707-717；选自函数论的论文，s.53-66.）及注释
12.函数论（柏林科学院月刊，1880，s.719-743；选自函数论的论文，s.67-101.）及注释及附录（柏林科学院月刊，1881，s.228-230；选自函数论的论文，s.102-104）
13.摘自一封目前为止还未出版的1875年10月3日写给施瓦茨教授的信。
14.椭圆函数论（柏林科学院会议期刊，1882，s.443-451.）
15.椭圆函数论（柏林科学院会议期刊，1883，s.193-203,265-275,1271-1297.）
16.复变量理论（哥廷根皇家普鲁士科学院，1884，s.395-414.）附有施瓦茨先生的注释
17.林德曼的论文：关于Ludolph鲁道夫数（即π）（柏林科学院会议期刊，1885，s.1067-1085）
注释

1.3.2古德曼的级数工作
双曲函数[基本的双曲函数为双曲正弦sinh=Sin，双曲余弦cosh=Cos，双曲正切tanh=Tan等。]展开成幂级数贯穿古德曼早期工作的明确课题。在19世纪数学史的大背景下，古德曼的科学而工作在19世纪二十年代至五十年代构成了德国数学的一部分。古德曼的双曲函数展开很少是真正原创的，因为很多相似部分已经在18世纪被欧拉表达过了。
除了研究圆函数、双曲函数，椭圆函数之后也进入古德曼关注的视野。早在1809年高斯已经考虑了椭圆函数，但他的工作一直以手稿的形式保存着，他去世后才发表。雅可比到1851年去世，在哥尼斯堡的职位上待到1842年，退休后在柏林直到去世。因此他在德国大学有追随者，他们在大学里讲授雅可比的椭圆函数。古德曼既是这样一个追随者也是雅可比的朋友，也是德国首次讲授椭圆函数的教授之一。古德曼将函数snu,cnu,tnu,dnu命名为圆椭圆函数，古德曼通过讨论圆椭圆函数，给出了双曲椭圆函数Snu,Cnu,Tnu,Dnu的定义。1838年古德曼进一步检验椭圆函数的周期性（包括圆和双曲），他发现它们的双周期性，和阿贝尔和雅可比的结论一致。1835年雅可比证明了没有多于两个周期的函数。提出的一般周期性问题被解决了。
古德曼将椭圆函数snu、cnu、dnu以及amu展开成幂级数并确定了系数。
第二章 人生历程与数学启蒙
引言
柏林在科学史上曾有两个时期，是作为最重要的数学中心。第一个时期是18世纪在普鲁士国王弗里德里希二世时期，主要在欧拉（1707-1783，1741-1766年期间在柏林）和拉格朗日（1736-1813,1766-1787年期间在柏林）。第二个时期是19世纪在亚历山大·冯·洪堡的引领下，他在1827年从法国到了德国，他充分发挥了作为科学家的权威和在皇家宫廷中影响，将杰出科学家们带到柏林。
2.2.4著作与成就
只要看一下魏尔斯特拉斯的数学成就就足以理解缘何视为数学界精神领袖了。以魏尔斯特拉斯命名的数学概念、公式、定理和理论就有二十四项，如：
魏尔斯特拉斯点、
魏尔斯特拉斯意义下的解析函数（以解析延拓为特征）、
魏尔斯特拉斯sigma函数（σ函数）、
魏尔斯特拉斯gamma函数（Γ函数）、
魏尔斯特拉斯zeta函数（ζ函数）、
魏尔斯特拉斯P函数（花体）、
[
魏尔斯特拉斯第一种椭圆积分u=∫[∞->z](1/sqrt(4z^3-g_2z-g_3))dz=P^(-1)(z)的反函数z=P(u)称为魏尔斯特拉斯椭圆函数。
g_2,g_3称为函数P(u)的不变量----相对不变量、模形式，可以用来定义绝对不变量J、模函数
不存在g_2=g_3=0的情形，这时微分方程的解不是椭圆函数了。----P'^2=4P^3的解z=P(u)=1/u^2不是椭圆函数
]
魏尔斯特拉斯椭圆曲线的正规形式、
魏尔斯特拉斯-Enneper公式、
魏尔斯特拉斯逼近定理、
魏尔斯特拉斯预备定理、
魏尔斯特拉斯-Stone定理、
魏尔斯特拉斯型的预备定理（micro differential算子）、
魏尔斯特拉斯定理包括：R紧致子集、紧致集上的连续函数、本性奇点、亚纯函数展开、超越整函数、波尔查诺-魏尔斯特拉斯、
卡索拉蒂-魏尔斯特拉斯、双重级数、林德曼-魏尔斯特拉斯等定理。
魏尔斯特拉斯的Al函数、魏尔斯特拉斯条件（充分和必要）、魏尔斯特拉斯的处处连续同时无处可微函数、非积分魏尔斯特拉斯表示、
魏尔斯特拉斯双重级数定理、变分问题的ε函数（1879年引进）、（多项式矩阵）的魏尔斯特拉斯初等因子、魏尔斯特拉斯-埃德曼角条件（悬链面条件）、魏尔斯特拉斯基本定理、魏尔斯特拉斯函数（P、σ、ζ）、魏尔斯特拉斯积分、魏尔斯特拉斯结构、魏尔斯特拉斯收敛定理、魏尔斯特拉斯曲线、魏尔斯特拉斯近似定理、魏尔斯特拉斯正规形式（椭圆积分）、和变分法有关的魏尔斯特拉斯素因子、魏尔斯特拉斯乘积形式和魏尔斯特拉斯乘积定理、魏尔斯特拉斯点、魏尔斯特拉斯比值判别法则、魏尔斯特拉斯（极值）定理、魏尔斯特拉斯部分分式分解定理（也称米塔-列夫勒定理）、魏尔斯特拉斯σ公式、魏尔斯特拉斯函理论（1865年建立的变分法理论）、魏尔斯特拉斯比较判别法（判别一致收敛函数）、魏尔斯特拉斯预备定理。
上述列举的魏尔斯特拉斯的数学贡献主要集中于几个方向。首先在数学分析领域中做出了最大的贡献，作为分析学集大成者，最为称道的是他分析算术化的工作，因此被誉为“数学分析大师”。
其次是解析函数理论方面，是解析函数理论的奠基人。到19世纪末，德文“Funktionenlehre（函数论）”几乎已成为按照魏尔斯特拉斯的观念建立的复变函数论的同义词。
再次就是在其他领域的研究，如椭圆函数论和阿贝尔函数论，为了纪念阿贝尔，他引入Al记号表示的函数，不仅研究了第一类椭圆积分的反演函数而且研究了超椭圆积分的反演问题。他证明用有限个解析元素即可表示一个代数层，这相当于是证明代数函数黎曼面的紧性。他证明了阿贝尔函数论中的一条基本定理：具有相同周期2p的p+1个p元阿贝尔函数之间存在一个代数关系。魏尔斯特拉斯于1869年完成了关于阿贝尔积分的一般理论，并在其后的一系列课程中加以阐述。阿贝尔函数是他最终的研究目标，而他在研究过程中得到衍生品反而长足地超越这个理论的发展，还有变分法的工作。此外还有代数方面的工作。
随着克罗内克和库默尔（分别逝于1891年和1893年）以及魏尔斯特拉斯的相继逝世，柏林的数学时代也随之终结。
第三章 魏尔斯特拉斯复变函数理论的启始
第四章 解析因子理论与魏氏复函思想的转折
引言
魏尔斯特拉斯在明斯特的试讲结束后，1843年被西普鲁士的一个初级中学录用，从此一直待1855年中学教师生涯结束，属于数学研究的第二阶段。教学之余，魏尔斯特拉斯主要研究阿贝尔函数，这是他一心要攻克的核心问题。1854年他在《克雷尔杂志》上发表《阿贝尔函数理论》，1855年魏尔斯特拉斯获得带薪假期，离职一年进行科研，此后告别中学教学，正式踏入数学界的舞台中心，成为19世纪后半叶函数论的引领者。
第五章 魏尔斯特拉斯复变函数理论的深化
引言
1855年当他发表在《克雷尔杂志》上的文章引起轰动后，随即收到来自柏林工业学院教授职位的聘书，从1856年起进入第三阶段的研究工作，同年又到柏林大学执教，直到1892年他的学术生涯结束。

摘要 4-6
Abstract 6-7
引言 12-23
    1 选题意义 12-15
    2 文献综述 15-17
    3 研究目标 17-20
    4 结构编排 20-23
第一章 历史与背景概述 23-47
    1.1 概述 23-24
    1.2 实到虚的过渡 24-32
        1.2.1 从代数分析中产生虚量 24-25
        1.2.2 积分之路通向复变量函数 25-30
        1.2.3 复函数的几何考虑 30-32
    1.3 魏尔斯特拉斯函数论的产生背景 32-47
        1.3.1 德国数学组合分析的影响 32-37
        1.3.2 古德曼的级数工作 37-42
        1.3.3 分析的严格化与算术化 42-47
第二章 人生历程与数学启蒙 47-66
    引言 47
    2.1 魏尔斯特拉斯前四十年生活 47-53
        2.1.1 出生与家庭 47-49
        2.1.2 中学时代 49
        2.1.3 大学时期 49-50
        2.1.4 专攻数学 50-52
        2.1.5 人生转折 52-53
    2.2 魏尔斯特拉斯后四十年人生轨迹 53-66
        2.2.1 大学教授 53-54
        2.2.2 柏林授课 54-56
        2.2.3 收获与痛苦 56-59
        2.2.4 著作与成就 59-64
        2.2.5 思想与观念 64-66
第三章 魏尔斯特拉斯复变函数理论的启始 66-93
    引言 66
    3.1 魏尔斯特拉斯第一篇复变函数论文 66-78
        3.1.1 复函的级数表示定理的提出 67
        3.1.2 定理证明的理论依据 67-72
        3.1.3 幂级数表达的唯一性考察 72-75
        3.1.4 对级数表示定理的推广 75-76
        3.1.5 高阶导数公式的获得 76-78
    3.2 魏尔斯特拉斯对复变量幂级数的关注 78-82
        3.2.1 单变量双重级数的系数估计 79-80
        3.2.2 多变量双重级数的系数估计 80-81
        3.2.3 双重级数定理的导出 81-82
    3.3 魏尔斯特拉斯对单复变函数微分形式的考察 82-90
        3.3.1 以微分方程组的幂级数解为前提 82-87
        3.3.2 单值解析函数的微分形式的构造 87-88
        3.3.3 多复变量级数中延拓思想的萌芽 88-90
    小结 90-93
第四章 解析因子理论与魏氏复函思想的转折 93-112
    引言 93-94
    4.1 魏尔斯特拉斯研究解析因子的背景 94-98
    4.2 魏尔斯特拉斯解析因子理论的分析 98-108
        4.2.1 解析因子一般形式的确定 98-100
        4.2.2 解析因子的典型性质 100-102
        4.2.3 对称解析因子的提出 102-103
        4.2.4 解析因子收敛性考查 103-104
        4.2.5 解析因子的不同表达 104-108
    4.3 对魏尔斯特拉斯解析因子理论的评价 108-109
    小结 109-112
第五章 魏尔斯特拉斯复变函数理论的深化 112-150
    引言 112-113
    5.1 对《单值解析函数理论》的分析 113-123
        5.1.1 解析函数基本概念的明确 113-114
        5.1.2 解析函数奇点的分类 114-116
        5.1.3 解析函数分类及刻画 116-122
            5.1.3.1 有理函数 116-117
            5.1.3.2 整函数 117
            5.1.3.3 超越函数 117-118
            5.1.3.4 根据奇点对整函数分类 118-119
            5.1.3.5 各类解析函数的表达式 119-122
        5.1.4 函数构造定理扩展及素函数的引入 122-123
    5.2 对三类单值解析函数的具体研究 123-145
        5.2.1 单变量整单值函数理论概述 123-130
        5.2.2 单本性奇点的单值函数分析 130-135
        5.2.3 多本性奇点的单值函数分析 135-145
            5.2.3.1 具有n个本性奇点的单值函数 137-140
            5.2.3.2 具有n个本性奇点、任意多个非本性奇点的单值函数 140-145
    5.3 具有本性奇点的函数性质 145-146
    小结 146-150
第六章 教学实践与复函体系的完善 150-189
    引言 150-152
    6.1 笔记形成时期的背景介绍 152-156
        6.1.1 学术状况 152-153
        6.1.2 课程开讲 153-154
        6.1.3 笔记版本 154-156
    6.2 笔记内容简介 156-159
    6.3 笔记中的复变函数理论体系 159-187
        6.3.1 复函理论中基本概念的精确 159-163
            6.3.1.1 引进复变量函数 159-161
            6.3.1.2 建立解析函数概念 161-163
            6.3.1.3 强调一致收敛性质 163
        6.3.2 复函理论中基本定理的定型 163-168
            6.3.2.1 函数逼近思想的体现 163-164
            6.3.2.2 和函数的级数表示定理 164-165
            6.3.2.3 借助近似公式转化级数表达 165-167
            6.3.2.4 和函数与幂级数形式的收敛域 167
            6.3.2.5 连续统与幂级数间的互导 167-168
        6.3.3 复函理论中的核心思想 168-187
            6.3.3.1 函数元的概念及其作用 168-169
            6.3.3.2 解析映射思想及性质的阐述 169-183
            6.3.3.3 无穷远元素的考虑 183-185
            6.3.3.4 单值分支思想的明确 185-187
    小结 187-189
第七章 影响与传播 189-198
    引言 189
    7.1 魏尔斯特拉斯之后解析函数理论的发展 189-195
    7.2 魏尔斯特拉斯数学研究的式微 195-196
    小结 196-198
结语 198-204
参考文献 204-212
附录 212-238
    1.魏尔斯特拉斯年谱 212-217
附录一 魏尔斯特拉斯年谱
1815年10月31日：出生
1820年，5岁：弟弟Peter出生
1823年，8岁：妹妹Elise出生；同年，母亲Theodora W.去世
1828年，13岁：父亲和Maria Theresia Holscher结婚
1864年，49岁：7月2日，离开柏林工业学院，成为柏林大学正教授
1897年，82岁：染上流感，后转为肺炎，终至不治，于2月19日逝世
    2.柏林大学授课课程目录 217-221
    3.魏尔斯特拉斯《著作》全集目录及前言 221-233
    4.魏尔斯特拉斯指导的博士生及其论文名单 233-238
攻读博士学位期间取的科研成果 238-239
致谢 239-242
作者简介

6.3.1.2建立解析函数的概念
魏尔斯特拉斯认为，建立了函数论就可以解决这些困难。
7.1魏尔斯特拉斯之后解析函数理论的发展
1.整函数和亚纯函数
1877年，魏尔斯特拉斯公开发表了这个对整函数和亚纯函数理论的后续发展起决定性作用的正规表达。简单的说，魏尔斯特拉斯将多项式的因式分解定理推广到整函数。Weierstrass把实多项式分解为线性因式的定理推广到了整函数。
因式分解定理：如果G(z)是一个整函数，不恒等于0但有无穷多个根（即不是一个多项式），那么G(z)可以写成一个无穷乘积。
米塔-列夫勒受到魏尔斯特拉斯的启发，将有理函数分解为部分分式的定理推广到亚纯函数。他从对数的微分中的得到部分分式表达式，这是在每一本函数论的教科书中都可以找到的以米塔-列夫勒命名的定理。
Weierstrass定理（1876）：一个亚纯函数可以表示为两个整函数的商。
Mittag-Leffler定理（1877）：在任意一个区域上的亚纯函数可以表示为两个函数的商，其中每一个都在该区域内解析。
在二人的定理中，分子和分母都不在区域的同一点上为0。
米塔-列夫勒是魏尔斯特拉斯信赖的学生，他在传播魏尔斯特拉斯思想功不可没。

4.值分布问题
由皮卡定理开始了值分布理论，但在皮卡发表定理后并未激起很大的反响，沉寂几年之后，波莱尔使情况有所改变。
整函数的经典理论对于解析数论的意义。借助整函数的正规表达，哈达玛在1892年成功地证明了黎曼ζ函数ζ(s)在临界带Re(s)=0,1的边界线上不为零，包含了高斯和勒让德猜测的素数定理：小于等于x的素数个数π(x)趋近于x/logx。