各种代数结构（抽象代数）总结，仿射空间和点的数学定义

整理自《离散数学》第三部分 屈婉玲

运算的封闭性是大前提：

结合律 -> 半群（Semigroup）

+ 幺元 -> 幺半群（Monoid）不是 Monad ∀a ∃e a:e=e:a=a    =>    幺元唯一

+ 逆元 ->  群(Group)  ∀a ∃b 满足 a:b=b:a=e    =>    某元素的逆元唯一

+ 交换律 -> 交换群

---

整理自《离散数学》第三部分 屈婉玲

环(ring)：集合R和定义于其上的二元运算 + 和• 构成一个环，当且仅当：

1. 形成一个 交换群

2. < R, •>形成一个  半群

3. "乘法" •关于"加法" + 满足分配律

根据环的定义，可得∀a∈R，a•0 = 0•a = 0（即：环的加法幺元就是乘法零元）

若<R, •>构成幺半群，则称作 含幺环 英文(ring with identity，unital ring)

注意，这里有些混乱（整理自维基百科英文）：

有的把上述1.2.3.定义的代数结构称为  伪环，英文rng (pseudo-ring or non-unital ring).

而把<R, •>形成一个幺半群的称为 环。

---

整理自维基百科、《离散数学》第三部分

交换环 <R, •>满足交换律

无零因子环(domain) R-{0}≠∅ 对乘法封闭 <=> 非空半群 <=> R中非0元素的乘积非0（0必然是“零因子”，无 非0的“零因子”）

整环(integral domain)  —— <R-{0}, •> 交换幺半群

除环 (division ring)、斜域 (skew field) 、division algebra ——   <R-{0}, •> 群，任何非0元都有•逆元

域(Field) —— <R-{0}, •> 交换群

有限除环、有限整环必为域。

---

整理/翻译自维基百科

向量空间（线性空间）

给定域F，所谓“F上的向量空间”是一个集合V，（F中的元素叫标量，V中的元素叫向量）V与F中的元素满足两种运算：

向量加法 构成 交换群。

标量与向量的乘法（数乘）：F × V → V，且：

数乘对向量加法满足分配率：k∈F, a,b∈V, k(a+b)=ka+kb

数乘对域上的加法满足分配率：m,n∈F, a∈V, (m+n)a=ma+na

数乘与域上的乘法满足“结合律”的形式：m,n∈F, a∈V, (mn)a=m(na)

域上的乘法的幺元也是数乘的“幺元”：e是域上的乘法的幺元，则任意的a∈V，ea=a

仿射空间

域F上的向量空间V 和 非空集合A，对于任意的 p∈A  v∈V，有 p+v ∈A，且：

1、p+0=p （其中0是向量加法的单位元）

2、p+a+b=p+(a+b) （a b ∈V）

3、任意的q∈A，有且只有一个u∈V，使得 p+u = q

A中的元素就称为点（事实上由2、3可以推出1）。

V中的元素叫做向量（自由向量）。