相似矩阵、矩阵的相似对角化

相似矩阵的定义

A,B都是n阶矩阵。若存在可逆矩阵P，使得 P−1AP=B ,则称A相似于B，记作 A∼B 。
特殊的，如果 A∼Λ,Λ是对角矩阵 , 则称A可以相似对角化。 Λ 是相似标准形。

矩阵可相似对角化的充要条件

• n阶矩阵A可对角化 ⟺ A有n个线性无关的特征向量。

  注意这里说的不是A的秩为满，也不是 λE−A 矩阵秩满时，可以得到A有n个线性无关的特征向量。而是方程 |λE−A|=0 可以取得n个特征值。
  一个特征值下有多少无关的特征向量呢？需要代入方程 (λE−A)x=0 计算。

• 不相等的特征值对应的特征向量一定无关。而相同特征值下的特征向量不一定无关（相同特征值还有重数的概念）。即，若 λ1≠λ2, 则A的对应于 λ1 和 λ2 的特征向量线性无关。

  由此引出的推论是：若A有n个互不相同的特征值，那么就可以得出A有n个无关的特征向量。从而得出A可以相似对角化，且主对角线元素是n个特征值。

如果，A有n个线性无关特征向量只有这一种情况的话，将会无聊得太多了。幸而实际上不是。同样的特征值也有可能得出多个无关向量。

• λi 是n阶矩阵A的 ri 重特征值，则其对应的线性无关特征向量的个数小于等于 ri 个。

推论：每一个 ri 重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数时，等价于n阶矩阵A可以相似对角化。

综合上面可以看到，矩阵相似对角化的核心是可以得到矩阵A有n个线性无关的特征向量。已知A可以求出A的特征值，这些特征值不必各个不同，可以部分相同，相同的个数称之为对应的特征值的重数。再根据这个特征值求得的特征向量个数，二者比较，可以得出是不是有n个线性无关的特征向量。

也就是说，充要条件的限制很大，或者说可选的范围很小。也因此，必要条件就很多。这也成为了解题的一大依据。

矩阵相似的必要条件

A simB=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⟹(1)|λE−A|=|λE−B|,⟹(2)r(A)=r(B),⟹(3)A和B有相同的特征值,⟹(4)|A|=|B|=∏ni=1λi,⟹(5)∑ni=1aii=∑ni=1bii=∑ni=1λi

值得注意的是，当两个矩阵相似时，不要认为主对角线秩积等于特征值之积。。。

初等行变换后，特征值一般会变化。这也是值得注意的点。

基本上我们常常研究的秩，行列式，特征值，特征方程都相同，但也只是必要条件。