矩阵的对角化

矩阵的对角化

讲解矩阵的对角化之前，先了解下相似矩阵。

相似矩阵的定义：A、B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得P-1AP = B，(注意全文中所有的P-1=P的逆矩阵)则定义矩阵B是矩阵A的相似矩阵或称矩阵A与矩阵B相似。对A 进行P-1AP称为对A进行相似变换。

相似矩阵有相同的特征多项式、特征值、行列式、相同的迹、相同的秩。

相似矩阵其它的性质：

(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆的时候，它们的逆矩阵也相似。

(2)与单位矩阵相似的矩阵只有单位矩阵本身，有kE相似的n阶方阵也只有它本身。

(3)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。

矩阵对角化：对n阶矩阵A，如果可以找到可逆矩阵P，使得P-1AP = 对角阵，就称为把方阵A对角化。

矩阵对角化的充要条件：n阶矩阵有n个线性无关的特征向量。

推论：若n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A可对角化。

注释：1、对角阵的主对角元素为A的特征值 2、可逆矩阵P由A的n个线性无关的特征向量作列向量构成。

实对称矩阵的对角化：n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量，所以实对称矩阵一定可以对角化。不仅如此还一定能找到正交矩阵C，C-1AC = CTAC = 对角矩阵。(CT为矩阵C的转置，C-1为矩阵C的逆矩阵)