N皇后——回溯法、遗传算法、CSP最小冲突法（提供伪代码和C++源代码）

前言：8皇后耳熟能详，参考链接百度百科——八皇后。把8扩展成N，就是N皇后问题。我以下给出了解决N皇后的3个经典算法的思想和源代码（业界良心）！

---

1 数据结构

一个二维的棋盘，可以用一维的向量存储，我使用C++ STL中的std::vector。假设是8皇后，那么vector的大小是8，代表棋盘中的8行。vector[i] = j (0~7)，代表第 i 行的皇后在第 j 列，一个vector就是一个棋盘，统称为“状态”。这样子做很巧妙地成功把二维棋盘当作一维向量保存，降低了维数。

在遗传算法中，为了保存一个种群（很多个棋盘），使用std::vector< vector< int>>，相当于二维的向量，即“向量里面的元素是一个向量”。使用STL中的vector，可以全方位提升程序的质量，比如安全性，鲁棒性等。

图：项目的文件依赖关系

2 回溯法

//检测把皇后放置在棋盘位置 ( row, column ) 是否和前 row-1 行放置的皇后存在互相攻击的情况
//@param: row 是行数，column是列数
bool NQueensBacktrack::Check(int row, int column)
     For i: 0 to row-1 do
          If 对角线方向互相攻击，或者垂直方向互相攻击
               返回 false
          End if
     End for
     返回 true
End

回溯法（递归）有两种方法：第一种是求出所有解，第二种是求出第一个解就退出。两者之间只有两三行代码的区别。

第一种方法
//@param: row 是行数
void NQueensBacktrack::Backtrack(int row)
     For column: 0 to QueenNumber-1 do
          If 检测到位置(row, column)没有和皇后们互相攻击
               把一个皇后放到(row, column)
               If 这个皇后是在最后一行
                    打印此时的棋盘
               End if
               Backtrack(row +1)，从下一行开始继续递归
          End if
     End for
End

第二种方法
//@param: row 是行数
//Flag 初始化为 flase
void NQueensBacktrack::Backtrack(int row)
     If Flag 等于 ture
          return void 递归终结
     End if
     For column: 0 to QueenNumber-1 do
          If 检测到位置(row, column)没有和皇后们互相攻击
               把一个皇后放到(row, column)
               If 这个皇后是在最后一行
                    Flag←ture
                    打印此时的棋盘
               End if
               Backtrack(row +1)，从下一行开始继续递归
          End if
     End for
End

图：回溯法求解

---

3 遗传算法

是随机剪枝搜索的一个变化形式。它通过把两个父状态结合来生成后继。算法模拟大自然的自然选择、基因杂交和变异。其中自然选择依据适应值的大小来评估被选中的概率，让更加优质的父状态更有可能传给下一代。生成种群、杂交、和变异都是依赖随机数和概率来模拟“物竞天择，适者生存”的自然法则。算法不断Select, Crossover, Mutate直到产生了一个最优解。

一个棋盘可以看成是一条染色体，统称为“状态”，一个棋盘中的皇后可以看成一个基因。我不断调整种群数量的大小、适应值函数、杂交的策略、还有变异的概率，逐渐发现了更加优秀的参数。以下是我的实验结论：

1. 假设是N皇后，那么种群的数量最优是4N
2. 课本《人工智能：一种现代的方法》上的适应值函数不好，稍微改进一点的适应值函数 f = 冲突皇后对的个数的倒数，这样能够拉开优质和劣质个体被选的概率。
3. 课本上面的“单点+双侧”杂交（随机选择单个杂交点，这个杂交点的两侧都交换）的效果不佳，不如“单点+单侧”杂交，也不如“双点+双点之间”杂交。
4. 单个基因（一个皇后）变异的概率小于0.05，比如0.04的时候，效果较好。

//主循环
void Genetic::GeneticAlgorithm()
     while m_NotSuccess为真
          Select
          Crossover
          Mutate
     End while
     打印最优解
End

//计算一个state（棋盘）的适应值
//适应值采用“互相攻击皇后对的个数的倒数”，这比书上直接计算不互相攻击的皇后对数作为适应值的方法相比，更能拉开不同状态之间的差距。
//@para state：一个状态的引用
double Genetic::CalcuAdaptive(vector &state)
     counter←0
     For i: 0 to QueenNum-1 do
          For i: 0 to QueenNum-1 do
               If 对角线方向互相攻击，或者垂直方向互相攻击
                    counter++
               End if
          End for
     End for
     If counter等于0
          m_NotSucess←false，程序的循环终止条件
          m_BestOne←state，保存当前的状态
     End if
     Return 1.0/counter
End

//自然选择，大体思路是轮盘赌选择
void Genetic::Select()
     创建一个新的空种群newPopulation
     For i: 1 to populationSize-1 do
          m_accumuAdaptive[i]←m_accumuAdaptive[i - 1] + m_adaptive[i]
     End for
     totalAdaptive←m_accumuAdaptive的最后一个元素
     For i: 0 to populationSize-1 do
          先把totalAdaptive(这是一个实数)放大成一个整数
          产生一个随机数 ，对totalAdaptive求模，得到 ran
          按相同比例缩小成一个实数
          用二分查找的方法，在m_ accumuAdaptive内进行查找 ran，找出位置 j
          把m_population的第 j 个状态push_back到newPopulation中
     End for
     m_population←newPopulation
End

杂交有多种思路：

1. 选择两个state状态，随机产生一个杂交点，然后对这个杂交点的右（左）边的“基因”进行交换
2. 选择两个state状态，随机产生一个杂交点，然后再对这个杂交点两边的“基因”都进行交换。
3. 选择两个state状态，随机产生两个杂交点，然后再对这两个杂交点之间的“基因”进行交换。

变异：
通过伪随机数，使每一个基因有0.0几的概率进行突变。突变就是用伪随机数赋值。

图：遗传算法求解

---

4 CSP最小冲突法

局部搜索对求解不少constraint satisfy problem有着很棒的效果。N皇后问题就是一个约束满足问题，这里的约束，就是指“皇后之间不能冲突”。该算法使用完全状态的形式化：初始状态每个变量都赋一个值，后继函数每一次改变一个变量的取值，改变取值的依据是使冲突最小化——最小冲突启发式。如果最小冲突值有多个，那么按照一定的概率选择。（经过大量反复实验发现，CSP最小冲突法存在极小概率的不完备性，即永远也找不到满足约束条件的最优解，当遇到此情况的时候，可以选择退出当前的求解，重新生成一个新的初始状态再来一次）

该算法最精彩的地方，是时间复杂度可以优化到O(n^2)，于是可以在几秒内解决1万皇后的问题，在几十分钟内解决几万甚至10万皇后的问题！这是前两种算法完全无法比拟的。时间复杂度优化到O(n^2)有一点代价，那就是多付出一些空间复杂度。多出来的空间复杂度是O(n)，这个和优化的时间复杂度（从O(n^4 ) 到O(n^2)）相比，可以说是微不足道的，完全值得的。多出来三个vector，分别用来存储一个棋盘上的（以 8 皇后为例）:

1. 8个垂直方向的皇后数量
2. 15个主对角线方向的皇后数量
3. 15个反对角线方向的皇后数量

那么，一个皇后的冲突数量，就是这三个vector中的相应的值相加，利用下标转换关系可以做到。这样计算一个皇后的冲突数量，就可以在常数时间内完成。这是十分吸引人的！当然，每一次放置皇后和移开皇后的时候，需要更新上述三个vector的相应值，维护这三个vector也需要时间开销，不过这也是常数。

检测一个状态是否达到最优状态的时候，只需要判断每一个垂直方向（列）上面的皇后数量是否为1，主对角线和反对角线方向上的皇后数量是否是0或者1即可，这个时间复杂度是O(n)

以下是主循环的伪代码
void MinConflict::MinConflictAlgorithm()
     While 没有找到最优解
          For row: 0 to QueenNum-1 do
               移开棋盘row这一行的皇后
               更新相应的三个保存皇后数量的vector
               For column: 0 to QueenNum do
                    计算(row, column)位置的冲突值，常数时间
                    If 比之前的 min 更小
                         更新最小值 min, 更新此时的 columnMin
                    Else if 和之前的最小值相等
                         50%概率更新最小值min，更新此时的 columnMin
                    End if
               End for
               放置皇后到冲突最小的地方(row, columnMin)
               更新相应的三个保存皇后数量的vector
               如果检测达到了最优状态，即找到了最优解，break For
          End for
     End while
     打印最优解
End

图：CSP最小冲突求解

---

5 三种算法的比较

图：三种算法的横向比较

图：回溯法纵向比较

图：遗传算法纵向比较

图：CSP最小冲突算法纵向比较

---

6 总结

求解N皇后问题。首先，是回溯法，这个不难，我的把回溯法封装到了一个类中。实际上，面向对象的思想已经深入我心，我写任何程序，都会首先思考如何设计一个类。后面的遗传算法和CSP最小冲突算法，我也是封装到类中，这两个算法有点意思~

遗传算法，看似有些神秘，是一中对大自然“物竞天择，适者生存”法则的模拟。我仔细揣摩课本上面的思路，依葫芦画瓢写了一个程序，但是按照课本《人工智能：一种现代的方法》上面的写的算法只能算到10皇后。超过10皇后之后，就无法求出解。我通过调试，发现种群会慢慢收敛都一个局部最优解，“陷入泥淖，无法自拔”了。我发现，优质的个体（一个棋盘的状态）有时候无法被选中，从而“断子绝孙”。那么我就想办法拉开优质个体和劣质个体被选中几率的差距。慢慢的，我就想出了一个方法。改进过后，不仅解决8，10皇后时间缩短了大约85%（遗传的代数也减少85%），更是可以在较短时间内解决几十皇后的问题，比如40皇后。我是十分兴奋！期间我不断调整种群数量的大小，杂交的策略，还有变异的概率，逐渐发现了最优的参数。遗传算法可以继续优化，可以求解出几百皇后，不过我到了求解四十几皇后就没有继续优化了，已经可以较好完成作业的任务了。

再谈CSP（最小冲突），这是一种局部搜索。这对于求解对求解N皇后问题这样的constraint satisfy problem很有效果。这里的约束，就是指“皇后之间不能冲突”。该算法使用完全状态的形式化，不考虑过程。该算法最精彩的地方，是时间复杂度可以优化到O(n^2)（以付出一点空间复杂度为代价），于是可以在几秒内解决1万皇后的问题，在几十分钟内解决几万甚至10万皇后的问题！当我看到我的程序成功解决了10万皇后的那一刹那，内心简直是无比畅快，所有的努力和汗水都值得了

---

7 源代码

完整代码请在这里下载：N皇后C++完整源代码，采用面向对象思想设计    对照伪代码，看源代码，效果更佳！
友情提示：需要2个下载积分~（2个积分不多不多，尊重劳动成果~首次注册CSDN账户赠送50个积分~）。下面仅仅给出类的声明~

class NQueensBacktrack
{
public:
    NQueensBacktrack():m_queens(0), m_counter(0), m_succussFindOne(false){};
    NQueensBacktrack(int n) :m_queens(n, 0), m_counter(0){};
    bool Check(int row, int column);
    void Backtrack(int row);
    void Print();

private:
    vector<int> m_queens;
    int  m_counter;
    bool m_succussFindOne;
};

class Genetic
{
public:
    Genetic(int numOfQueens, int initialGroupNum);
    double CalcuAdaptive(vector<int> &state);  // 计算适应值（互相攻击的皇后对的个数的倒数）
    void SetPopulation();
    void Select();     // 选择
    void Crossover();  // 杂交
    void Crossover2(); // 另外一种杂交策略,和crossover()相比，优化了20%
    void Mutate();     // 变异
    void GeneticAlgorithm();  //把所有步骤综合在一起
    void Print();      // 打印最优解

private:
    size_t  m_QueenNum;       // 皇后数量
    size_t  m_BestAdaptive;   // 最优解的适应值
    bool    m_NotSuccess;     // 是否成功找到最优解
    vector<int> m_BestOne;    // 最优解
    vector<vector<int>> m_population;     // 种群
    vector<double>      m_adaptive;       // 种群的适应值 --> 冲突对数的倒数
    vector<double>      m_accumuAdaptive; // 累积的适应值
    //上述三个vector的下标之间是对应的（可理解为关联的）
};

class MinConflict
{
public:
    MinConflict(int numOfQueens);
    bool  CheckSatus(); // 检测是否达到最优解
    int   CalcuConflicts(size_t row, size_t column);
    void  MinConflictAlgorithm();
    void  PutQueen(size_t row, size_t column);
    void  RemoveQueen(size_t row, size_t column);
    void  Print();       // 打印最优解
    void  PrintConflict();

private:
    vector<int> m_chessBoard;
    size_t m_QueenNum;
    vector<int> m_columnConflict;
    vector<int> m_mainDiaConflict;   // 主对角线方向的映射规则 (i, j) --> m_QueenNum-1-i + j
    vector<int> m_counterDiaConflict; // 映射规则 (i, j) --> m_QueenNum-1-i + m_QueenNum-1-j
};