矩阵的相似

原来矩阵的相似当时的初衷是为了更好的计算 $A^m$啊，才知道，这下就不要把矩阵的相抵和相似搞混了吧！

相似定义

• $A,B$都是数域$K$上的$n$级矩阵
• 若在数域$K$$上\exists$一个$n$级可逆矩阵$P$，使得$$P^{-1}AP=B$$就说$A与B$相似，记为$A\sim B$
• 特别注意！这里强调了是数域$K$，也就是实数域内，如果实数域内找不到这样的可逆矩阵，在复数域内也是不可能存在的，不相似就是不相似

性质~

若$A\sim B\Rightarrow$

• $|A|=|B|$
• $r(A)=r(B)$
• 相似的矩阵要么都可逆，要么都不可逆
• 若$A,B$可逆，则$$A^{-1}\sim B^{-1}$$

迹的定义

$n$级矩阵$A=(a_{ij})$的主对角线上元素的和称为$A$的迹.记作$tr(A)$,即 $$tr(A)=a_{11}+...+a_{nn}$$

性质~

• $$tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$$
• $$tr(kA)=ktr(A)$$
• $$tr(AB)=tr(BA)$$
• $A\sim B\Rightarrow$ $$tr(A)=tr(B)$$
  • 证明：
  • 若$A\sim B\Rightarrow$ $$P^{-1}AP=B$$
  • 则$$tr(B)=tr(P^{-1}AP)$$ $$=tr(P{P}^{-1}A)=tr(A)$$

一道应用迹来解答的例题

若数域$K$上的$n$级矩阵$A,B，满足：$ $$AB-BA=A$$证明：$A$不可逆

证明

• 我就假设$A$可逆吧，在等式左边乘上$A^{-1}$，有$$B-A^{-1}BA=I$$ 则有$$tr(B-A^{-1}BA)=tr(I)=n$$
• 接下来看打脸了
• $$tr(B-A^{-1}BA)=tr(B)-tr(A^{-1}BA)$$ $$=tr(B)-tr(B)=0了！$$这脸打得piapia的
  提了个醒，关于这种$AB,BA$先想到相似，然后不要忘记迹这个冷门小杀器！

可对角化的定义

$n级矩阵A\sim 对角矩阵\Rightarrow$
$A$可对角化

可对角化的充要条件

$K^n$中有$n$个线性无关的列向量${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$,以及$K$中有$n$个数${\lambda }_1,...,{\lambda }_n(可能会相等)$使得$$A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$$此时，令$$P=({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)$$
就有$$P^{-1}AP=diag\{{\lambda }_1,...,{\lambda }_n\}$$

证明

• $A\sim D=diag\{{\lambda }_1,...,{\lambda }_n\}\iff$ $$\exists K上的n级可逆矩阵P=({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)使得$$ $$P^{-1}AP=D$$即$$AP=PD$$即 $$A({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)=({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)diag\{{\lambda }_1,...,{\lambda }_n\}$$ $$=({\lambda }_1{\alpha }_1,...,{\lambda }_n{\alpha }_n)$$ $\iff K^n中有n个线性无关的列向量{\alpha }_1,...,{\alpha }_n$使得 $$A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,...,A{\alpha }_n={\lambda }_n{\alpha }_n$$
• 我知道这种题怎么推了！就找一个好入手的方向，然后一路等价于！