[线代笔记]第一章 线性方程组解法

第一章 线性方程组解法

• 代数学起源于解方程（代数方程）
  • 一元一次、一元二次、一元三次、一元四次都有求根公式（通过系数进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到解），一元五次以上方程就不再有求根公式了（近世代数）
  • 二元一次方程组、三元一次方程组、……、n元一次方程组（线性代数研究对象）
  • 高等代数——线性代数+多项式理论

1. 线性方程组的同解变形、线性组合、初等变换、消去法

• 例1
  
  

1. 同解变形：用3种同解变形必可化方程组为阶梯型
   1. 交换两个方程位置
   2. 用非0的数c乘某个方程两边
   3. 用某个方程的k倍加到另一个方程
2. 线性组合：设是一些方程，称为的一个线性组合。（由组成的方程组与同解）
   • 例2
     
     由于 ，故第个方程是多余的。
     
3. 一般，
   m个方程n个未知数的线性方程组，系数是第个方程第个未知数的系数。（数域），此时解也在中。

• 数域：复数的子集对加、减、乘、除（分母不为0）封闭，称为数域。如，，。

2. 矩阵的有关概念

1. 上述方程组完全由表决定，
   
   • 由行列的数（）组成的表，用圆括号（或方括号）限定，称为数域上一个矩阵。
   • 矩阵中各行称为向量（行向量），如是一个向量，可看作一行的矩阵。同样的，各列称为列向量。
   • 0向量：。
2. 矩阵的初等变换：必可由初等变换化为阶梯形矩阵，称为方程组的矩阵消元法
   1. 交换两行
   2. 乘某行
   3. 某行k倍加到另一行

3. 解线性方程组的矩阵消元法

1. 考虑方程组
   
   称为的系数矩阵，为的增广矩阵。
   • 方程组与它的增广矩阵互相唯一决定。
   • 对进行初等变换化为阶梯形，再解相应的阶梯形方程组。
   • 例
     
     解：
     
     可见阶梯形可以不规则
     改写为
     令自由取值为，得解
     
     其中，称为自由未知量，的原方程的无穷多组解。
   • 命题：设方程组的增广矩阵化为阶梯形后，含个非0行，且最后一个非0行，则方程组有个自由未知量，从而有无穷组解。（称为矩阵的秩：化为阶梯形后的非0行数）
   • 定理1：用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形后，记为系数矩阵的秩，为增广矩阵的秩（有），则
     A. 时方程组无解
     此时最后一行无解，表现为的阶梯形中最后一行为
     方程组有解
     B. 时方程组有解
     a. （未知数个数），有无穷组解，此时有个自由未知量
     b. 时有唯一一组解
2. 通解：设方程组有无穷组解，则有个自由未知量，令得
   其中称为方程组的通解。
   通解也可写成向量式
3. 特解：通解中的某个具体的解。
4. 解集合：

4. 齐次线性方程组（右边常数项全为0）

这里只考虑一次齐次方程组

1. 系数矩阵的秩时必有非0解，时只有0解
2. 若齐次线性方程组的方程个数（未知数个数），必有非0解。（此时的必有非0解）

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