[量子计算，与你有关]Part1-量子信息学及相关概念

        欢迎来到YuleZhang的量子计算专栏，本专栏围绕着《量子信息与量子计算》陈汉武编展开，奉行费曼学习法，尽可能的用生动的语言和自己的理解来拆解这本书，从而不断巩固和进步，欢迎与我一起学习，同时也期待你宝贵的建议！

一、Quantum Computing开胃菜

       首先从几个问题入手来了解量子信息学的轮廓

1.1 什么是量子

       量子不是某种特殊的物质，而是微观世界中所有的微观粒子（如光子、原子、电子等）统称为量子。

1.2 什么是量子信息学

       量子信息学是一门新兴的、以量子力学与经典信息学理论为主干的交叉性学科。量子信息学的研究主要对象包括量子通信技术、量子密码技术、量子计算技术以及量子期间技术的研究与开发。

1.3. 为什么要研究量子信息学

       摩尔定律预示着计算机芯片的集成度不久将会达到它的极限尺寸，所以突破芯片元件尺寸的极限是当前计算机科学和信息科学所面临的一个重大科学问题。摩尔定律的具体内容是

当价格不变时，集成电路上可容纳的元器件的数目，约每隔18-24个月便会增加一倍，性能也将提升一倍。换言之，每一美元所能买到的电脑性能，将每隔18-24个月翻一倍以上

       针对该问题有不同的解决思路，有堆叠晶体管、石墨烯代替硅、云计算、量子信息等等。其中，量子信息学的研究可为突破芯片的极限尺寸提供新概念、新思路和新途径。利用量子态相干性可以实现超高速并行计算、以量子态方式实现信息通信，可以实现不可解密码通信及超高速的信息通信。

       乍一听好像也没什么，可能误以为只是锦上添花的工作。实际上，如果人们拥有了一台量子计算机，那么目前的密码系统将毫无保密性可言，基于大因数分解的RSA体系将面临威胁。这一后果是对目前的密码系统的巨大挑战，因而对基于经典保密系统的行业（如军事、国家安全、金融等）的信息安全构成根本性的威胁！！！。

       意识到问题的严重性了吧，所以当Shor量子算法实现大因数分解发表时，着实引起了一阵轰动，量子信息方面的研究更加被重视起来。如今中美科技巨头激烈争夺量子霸权，谷歌在2019年的一篇论文中表示，其开发出一款53量子比特的超导量子芯片"Sycamore"，宣称其实现了量子霸权，但事实上其解决问题的能力是非常有限的，其“霸权”地位并没有得到广泛认可。我国先后创造了10个、12个、18个量子比特纠缠的新纪录，也有一批科研院所和企业在从相关研究。当然，并不是说量子比特数目越多越好，真正的容错通用量子计算机还要考虑其错误率限制（如下图）。

在NISQ(noisy-intermediate scale quantum computer)的时代(如下图)，虽然我们离绿色真正的容错通用量子计算机还很远，但是现在已经开始进入到蓝色区域相信在未来几年会有一些有趣的near-term的应用出现

二、量子信息与量子计算的基本概念

       量子信息不断爆出惊人的结果，完成了现代信息科学中以下两个根本性的发现：

（1）将经典信息0和1映射到量子状态上，依照量子状态特性对信息实施存储、传输和处理。

（2）科学家观察到了量子力学预见的、但迄今为止宏观世界无法想像的有关量子计算机以及量子远程瞬间传送实现通信等科学技术

       量子信息的载体可以是任意两态的微观粒子系统。例如，光子具有两个不同的线偏振态或椭圆偏振态，恒定磁场中原子核的自旋，具有二能级的原子、分子或离子，围绕单一原子旋转的电子的两个状态（如图1-1所示），这些微观粒子构成的系统只有量子力学才能够描述。

量子化的信息主要特征：

• 量子态相干性：量子间相互干涉
• 量子态纠缠性：N个量子在特定环境可以处于稳定的量子纠缠态，对其中某个子系统的局域操作会影响其余子系统状态
• 量子态叠加性：量子状态可以叠加，可以同时输入或操作N个量子比特的叠加态
• 量子不可克隆定理：量子力学的线性特性确保对任意量子态无法实现精确地复制，量子不可克隆定理和测不准原理构成量子密码技术的物理基础。

       量子比特的重要特性在于一个量子比特可以连续地、随机地存在于转台$|0⟩$和$|1⟩$的任意叠加态上。

张量乘积
       式1.3给出了一个$m$维向量与$n$维向量的张量乘积的矩阵表示，张量乘积式线性代数的基本运算。
$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right]⨂\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1{b}_1\\ ⋮\\ a_1{b}_n\\ a_2{b}_1\\ ⋮\\ a_2{b}_n\\ ⋮\\ a_m{b}_n\end{array}\right]$ (1.3)
下面是量子力学中一些常用的标准符号

2.1 并行计算？吊炸天！

       那就说说量子状态叠加与并行处理的关系
       前面我们提到过，量子比特的状态不是确定的0或1，而是处于叠加态中，当我们进行观察是有一定概率坍缩成为0，也有一定概率坍缩成为1。那么我们就可以用一个统一的式子$|\Psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$来表达这个状态。那么当我们对这个系统进行某些操作的时候，就是在同时对0和1这两个本征态进行作用，于是呢就并行处理了，下面看看更一般的情况。
       量子纠缠态一般是指量子叠加状态无法进行拆分为两个量子比特的乘积，这个叠加状态就被称为量子纠缠态，对于量子纠缠态，既然可以用叠加态表示，并且不能再进行拆分，那么对这个叠加态的操作就相当于对多个状态同时进行运算处理，就实现了并行计算，得到如下式子。
       例如，设置$x$和$y=f(x)$为两个存储器，他们的量子态分别为$|x⟩$和$|f(x)⟩$，则下列纠缠态就包含了该函数整体上的信息
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n|x_1⟩⨂|f(x_1)⟩ \\ =|x_1⟩⨂|f(x_1)⟩+|x_2⟩⨂|f(x_2)⟩+...+|x_n⟩⨂|f(x_n)⟩ \end{gathered}$$
       对它实施各种运算，就如同并行计算一个函数在$x=x_x,x_2,\cdots ,x_n$一系列位置上的函数值。由此可见，量子叠加状态时实现真正物理意义上并行计算的基础

2.2 量子计算难点问题

       无论是量子平行计算还是量子模拟计算，本质上都是利用量子的相干性。但实际上，量子间纠缠性很难维持，它可能受到环境、距离、测量等因素的影响，从而影响量子纠缠的纯度，甚至出现退相干现象，使运算结果产生错误。因此如何保证量子间状态不受干扰是研究的难点热点问题
对这类问题有以下两种思路

1. 在量子纠缠态受到影响之前完成运算或观察
2. 通过额外的量子比特进行错误校正

       另外一个问题就是对量子的操控很难，如果不能很好地解决多个量子的操控问题，那就更别谈构建量子集成电路了。目前提出的方案主要利用了原子和光腔的相互作用、冷阱束缚离子、电子或核自旋共振、量子点操纵、超导量子干涉等等。现在还很难说哪一种方案更有前景，未来也可能会有有全新的设计。

2.3 华山论剑—EPR佯谬

       首先EPR佯谬是量子领域的华山论剑，是智慧的碰撞！它指的是以爱因斯坦为代表的一批人和玻尔对于量子力学是否完备的学术争论，讨论“上帝掷骰子么”这个话题，双方各执一词。

       简单来说爱因斯坦认为量子间有局域性，即超远距离的量子间不存在相互作用，二者是相互独立的。对于其中一方测量影响另一方的结果，爱因斯坦认为目前的量子力学体制还不够完善，不能够很好地描述。而玻尔的想法恰恰与爱因斯坦相反，他认为量子纠缠性是非局域性的，换句话说两个量子一旦发生纠缠或干涉，那么无论他们的距离有多远，都能产生相互作用。
       不过口说无凭，后来贝尔基于爱因斯坦隐函数参数理论推导出的贝尔不等式给科学家们提供了实验的前提。
       经过科学家们实验检验，现在可以得出结论：

1. 量子力学是正确的
2. 非局域性是量子力学的基本性质

       因此目前看来，上帝是掷骰子的，微观世界是不确定的。

2.4 什么是量子隐形传态

       所谓量子隐形传态指的是脱离实物的一种“完全”的信息传送。从物理学角度，可以这样来想像隐形传送的过程：先提取原物的所有信息，然后将这些信息传送到接收地点，接受者一句这些信息，选取与构成物完全相同的基本单元，制造出原物完美的复制品

一群大佬们提出了量子隐形传态的设想
下面根据图示对量子隐形传态过程进行详细的说明

       有三个光子分别为1、2和3。其中光子2和光子3为EPR对（即产生量子纠缠）。将光子1和光子2发送给Alice，将光子3发给Bob。Alice令光子1和光子2发生纠缠，随后观测光子1和2处于哪个贝尔纠缠态，此时光子1会发生坍缩，光子2和3也将受影响而坍缩，将测量结果通过传统信道传给Bob。最后Bob能通过偏振分析器和两个光子检测器来测量光子3的偏振态，就获得了光子1所加载的信息。大功告成。（详细公式证明见原文哈）

2.5 量子态不可克隆(Non-Cloning)！

       这要从量子的叠加性说起，薛定谔的猫想必大家都知道。猫在黑盒子里时，它就是处于生死的叠加态（如下图）。一旦我们打开黑盒子进行观察，那么这种叠加态就会发生坍缩，以一定的概率坍缩到生与死这两个本征态。坍缩之后，也就是我们观察到猫的状态之后，叠加态已经不复存在了，这就让我们没有机会重复去得到其他可能的结果。

       至于坍缩这个神奇的现象，我也一度比较迷。哥本哈根的观点认为用量子态描述的微观粒子、只能接受经典状态信息的我们，这两者之间隔了一个经典仪器。在跨越量子经典边界的时候，波函数就坍缩了。
       更本质的原因是量子态的线性叠加原理排斥了克隆任意量子态的可能性。如此说来，在通信过程中，一旦信道被第三方窃听，那么量子态叠加态发生坍缩，双方就能发现“咦，这个量子被人动过手脚了！”，因此就能最终实现安全的量子密码，但同时也可能面临信道被不停干扰从而恶意破坏通信的事情发生。

2.6 关于量子逻辑门

       众所周知，传态的逻辑电路基本组成单位是一个个逻辑运算门（与或非门、异或门）等等，通过这些门电路相互作用能实现比特的加减乘除等众多运算。量子计算机也不例外，量子逻辑电路也需要一个个逻辑门来控制输入输出。量子逻辑门按输入比特的个数可以分为单比特、二比特及三比特。单比特的逻辑门见表1-2，双比特的如表1-3


下面对其中比较常用的门电路做简单介绍

• X-gate：相当于经典的逻辑非门，如操作前量子位为 |1⟩则进过泡利X门操作后会换成 |0⟩。反之则由 |0⟩换成 |1⟩。
• Z-gate：保持状态0不变，将状态$|1⟩$的符号翻转成$-|1⟩$，即实现相位翻转
• Hadamard-gate：它将$|0⟩$或$|1⟩$转换成$|0⟩$和$|1⟩$中间的位置，即通过幺正变换将本征态转为叠加态

2.7 量子图灵机与量子计算机

       如同经典计算机建立在通用图灵机基础之上，量子计算机也可以建立在量子图灵机的基础之上。量子图灵机可以类比于经典计算机的概率运算。
       图灵机模型是不可逆的，但Bennett证明了一个基本结果：对所有不可逆的通用图灵机，都可以找到一个对应的可逆图灵机，使得两者具有完全相同的计算能力。
       为什么要考虑可不可逆呢？这是因为在传统图灵机模型中，单方向操作的运算会产生内能，当寄存器等元器件少的时候没有什么，可是当电路由无数个很小的单位组成时，产生的热量会影响芯片的集成度。而在量子计算机中幺正变换的存在使得每一个状态的转化都是可逆的，这样能够避免因输入输出个数不同而产生大量的内能。
量子计算机有如下特点
（1）量子计算机的输入态和输出态为一般的叠加态，其相互之间通常不正交
（2）量子计算机中的变换为所以可能的幺正变换，得出输出态之后，量子计算机对输出态进行一定的测量，给出计算结果。