[量子计算，与你有关]Part4-量子纠缠状态纯化协议

       欢迎来到YuleZhang的量子计算专栏，本专栏围绕着《量子信息与量子计算》陈汉武编展开，奉行费曼学习法，尽可能的用生动的语言和自己的理解来拆解这本书，从而不断巩固和进步，欢迎与我一起学习，同时也期待你宝贵的建议！

一、前言

       如果这篇文章能被你找到，那么相信你对量子高密度编码或者量子隐形传态并不陌生，这里再来回顾一下。

1.1 量子高密度编码

       说到这部分，我们不仅要知道量子纠缠态，还要知道贝尔态基（贝尔态基是量子纠缠态中的一种特殊情形），贝尔态基表示如下
$$\begin{gathered} |{\beta }_{00}⟩=\frac{(|00⟩+|11⟩)}{\sqrt{2}} \\ |{\beta }_{01}⟩=\frac{(|01⟩+|10⟩)}{\sqrt{2}} \\ |{\beta }_{10}⟩=\frac{(|00⟩-|11⟩)}{\sqrt{2}} \\ |{\beta }_{11}⟩=\frac{(|01⟩-|10⟩)}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

       当通过纠缠变换回路生成量子纠缠时，这两个qubit就被紧紧联系在了一起，根据量子间“幽灵般”的超距作用，它们之间无论距离多远，一旦其中一个qubit由于观测状态发生变化，那么另一个也会随之发生对应的变化，这样就实现了信息的超距传递。这种感觉就像电影中相爱的两个人即使天各一方，也能彼此明白对方的心意一样。
       而量子高密度编码能够实现一个qubit位传送两位bit值，那么要是有$k$个qubit，理论上就能传送$2k$位bit的信息。它整个过程是这样的，假设联通公司给你和你异地的女票各发了一个制备好的贝尔态qubit$|00⟩$。你按照你想传的信息对你的qubit进行操作（无操作、$X-Gate$、$Z-Gate$或$XZ$），每个操作对应着不同的传输信息（00，01，10，11），操作过程如图3-3所示。

       处理完之后，你通过实际量子信道把这个qubit发给女票，当她收到时，对这两个qubit一观测，就能知道它处于哪个贝尔态基，于是就对应着找到了传输的2位bit信息，接收方的处理如图3-4所示。

1.2 量子隐形传态

       还记得那套熟悉的实验装置么，该图详细介绍复习Part1-量子信息学及相关概念

       量子隐形传态的核心思想就是想要传输的信息同信道中传输的信息并不是对应关系，无论是传统信道还是量子信道，其传输的仅仅是用来制备恢复原本信息的一部分内容，没有这个部分接收方无法得到正确的信息。同时，即使信道被窃听、数据被篡改，也能第一时间发现，从而就保证了信道传输的安全性。

二、EPP

2.1 Principle

       兜转了一圈，下面回归主题，讨论EPP原理和作用。EPP（Entanglement Purification Protocol）协议也叫作量子纠缠状态纯化协议，简单而言呢它同量子纠错编码体系的作用一样，都能够用来对抗量子传送过程中由于噪声或保存过长时间导致量子状态的变化。
       让我们以“发展的眼光”再来看看量子高密度编码，其发挥作用的前提是接收双方都能得到原始的贝尔基态$|00⟩$。那么问题来了，当最初这个基态从运营商发到客户手中时要是被篡改或者是被环境干扰了，那双方就不能正常通信了，那种感觉就像ASCII码最开始被加了几位偏移一样，很难再译成正确的内容。EPP就是专门解决这个问题的，它的另一种说法是：以任意接近1的概率使A、B双方共同拥有贝尔状态$|00⟩$的协议。

2.2 Example

       通过上面的介绍是不是对它的背景和作用有了一定的了解了，下面通过一个例子来了解它的essence!

       为了更好的理解，我们假设qubit在传输的过程中发生了bit反转，即以$p$的概率bit反转，同时以$1-p$的概率原样输出，那么用户的状态就变成

• 以概率$(1-p{)}^2$为$\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}$
• 以概率$p(1-p)$为$\frac{(X|0⟩)|0⟩+(X|1⟩)|1⟩}{\sqrt{2}}=\frac{|10⟩+|01⟩}{\sqrt{2}}$
• 以概率$(1-p)p$为$\frac{|0⟩(X|0⟩)+|1⟩(X|1⟩)}{\sqrt{2}}=\frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}$
• 以概率$(1-p{)}^2$为$\frac{(X|0⟩)(X|0⟩)+(X|1⟩)(X|1⟩)}{\sqrt{2}}=\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}$

       这意味着只有当仅一位qubit发生bit反转时，才会造成错误，假设q为发生错误的概率（仅错有一位发生bit反转），那么可以计算出
$$q=1-(1-p{)}^2-p^2$$
       总结一下，就是当信道中可能存在bit反转错误时，A和B的$|00⟩$贝尔态有$1-q$的概率正常，保持为$|{\beta }_{00}⟩$，有$q$的概率受到干扰，变成$|{\beta }_{01}⟩$。

       下面就可以引出EPP正式的定义啦，在上面的论述中，我们假设制备中心仅制备了一对贝尔基态的两个qubit，那么下面我们可以通过增加一对或多对贝尔状态来尽可能的使传输正常进行，使得双方共同得到正确的|00⟩的概率大于刚刚提到的$1-q$，那么这就是EPP。下面看看2个qubit对的情况

• 以概率$(1-q{)}^2$为$|{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{00}⟩$
• 以概率$(1-q)q$为$|{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{01}⟩$
• 以概率$q(1-p)$为$|{\beta }_{01}⟩|{\beta }_{00}⟩$
• 以概率$q^2$为$|{\beta }_{01}⟩|{\beta }_{01}⟩$

       是不是很眼熟，这跟我们之前表示一对qubit的情况很类似，只不过这里将反转概率$p$，换为了纠错出错概率$q$，下面开始分发qubit啦，具体操作如图6-1

从图中可以看到，用户A和B将自己拥有的两个qubit输入到控制非门，通过运算得到如下关系
$$\begin{gathered} |{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{00}⟩->|{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{00}⟩ \\ |{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{01}⟩->|{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{01}⟩ \\ |{\beta }_{01}⟩|{\beta }_{00}⟩->|{\beta }_{01}⟩|{\beta }_{01}⟩ \\ |{\beta }_{01}⟩|{\beta }_{01}⟩->|{\beta }_{01}⟩|{\beta }_{00}⟩ \end{gathered}$$

这里要特别说明一下，两对贝尔基态分别被拆开送给A、B。即若纠缠态为1和2、3和4时，A收到的是1和3，B收到的是2和4

       看不懂这个关系对应在正常不过了，这是通过计算分析总结得到的结果，下面就第四行对应关系验算一下，如下图所示，通过控制非门，成功的将贝尔态$|{\beta }_{01}⟩|{\beta }_{01}⟩$转化为了$|{\beta }_{01}⟩|{\beta }_{00}⟩$

       规定让A和B都测一测自己的第二个qubit，通过经典信道确认下“眼神”，要是一样就保存各自的第一位qutbit，否则就丢弃。于是你看第一行和第四行的情形会被保存，在这个结果中包含两种情况，只有第一行意味着双方第一对贝尔态是正确的$|00⟩$。之前提到EPP可是保证过双方拥有贝尔态的概率要大于$1-q$的，那来算算概率吧！
       首先第一行和第四行状态是我们想得到的结果，它们的概率和为$(1-q{)}^2+q^2$，那么取$|{\beta }_{00}⟩$和$|{\beta }_{01}⟩$的概率如下

• 以概率$\frac{(1-q{)}^2}{(1-q{)}^2+q^2}$为$|{\beta }_{00}⟩$
• 以概率$\frac{q^2}{(1-q{)}^2+q^2}$为$|{\beta }_{01}⟩$

设纠错出错概率$0<q<\frac{1}{2}$，那么下列不等式成立
$$\frac{(1-q{)}^2}{(1-q{)}^2+q^2}>1-q$$

证明如图所示，通过证明可以看到，当我们保证信道发生错误导致贝尔态制备失去效果的概率$q$在$0<q<\frac{1}{2}$时，能使得拥有状态$|{\beta }_{00}⟩$的概率增加。

三、Quantum Privacy Amplification Protocol

       上面提到的仅仅是比特错误得到纯化，下面讨论更一般的情况！稍等，请允许我先直译下这个名字“量子保密放大协议”。咳咳，果然什么都不是。总的来说，它同EPP类似，都是为了增加拥有贝尔态$|00⟩$的概率，进而保证信道传输的准确性。区别在于，EPP是针对bit反转错误，而Quantum Privacy Amplification（下面简称QPA）则是考虑一般的情形。
       其实它也没有什么神秘的，只不过在原来的电路基础上添加了一个酉算子而已，来回顾下酉算子和它的一些性质

3.1 酉算子

       希尔伯特空间的酉算子是仍保持其内积意义的希尔伯特空间的线性变换。酉算子具有逆算子，其逆算子也是一种酉算子，且酉算子和其逆算子是一对共轭算子。下面列出通信双方的酉算子及相关运算
$$\begin{gathered} U_A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -i\\ -i& 1\end{array}\right] \\ {U}_B=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& i\\ i& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
则$U_A|0⟩$和$U_A|1⟩$分别为
$$U_A|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -i\\ -i& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+(-i)\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right])=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-i|1⟩)$$
$$U_A|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -i\\ -i& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}((-i)\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right])=\frac{1}{\sqrt{2}}((-i)|0⟩+|1⟩)$$
则$U_B|0⟩$和$U_B|1⟩$分别为
$$U_B|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& i\\ i& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+i\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right])=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+i|1⟩)$$
$$U_B|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& i\\ i& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}((-i)\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right])=\frac{1}{\sqrt{2}}(i|0⟩+|1⟩)$$

3.2 Principle

在了解过EPP的操作方式之后，再来理解QAP就容易多了，话不多说先上图。
看好了，这次制备中心还是制备了两对贝尔态，分别发给用户A和用户B。从图中可以明显看到，传输的贝尔态量子先经过酉变换，然后再经过控制非门。同样的，若双方选择第二位qubit进行测量，并通过经典信道互相告知对方，若测定结果一样，则保存剩下那个qubit。若测定结果双方不一致，那么就丢弃剩下的1个qubit。

3.3 Example

       To better under the principle of QAP，我们通过一个例子来说明它的workflow，同样的也会通过相应公式计算来证明它行之有效。我们假设制备中心制备的例子在链路中可能需要位相反转错误，发送的信号以$1-p$的概率收到，以$p$的概率发生位相反转（想起没，就是多乘了个Z门），那么同样的用$q=1-(1-p{)}^2-p^2$来作为由于信道被干扰而影响贝尔态的概率。此时用户A和B的情况可以表示为

• 以概率$(1-q{)}^2$为$|{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{00}⟩$
• 以概率$(1-q)q$为$|{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{10}⟩$
• 以概率$q(1-p)$为$|{\beta }_{10}⟩|{\beta }_{00}⟩$
• 以概率$q^2$为$|{\beta }_{10}⟩|{\beta }_{10}⟩$

       可以看到这次A和B的表示同之前bit位相反转不相同，这是因为这次是发生位相反转错误，即符号发生变化。而将四种贝尔态与酉算子进行运算可以得到如下对应关系：

• $|{\beta }_{00}⟩->|{\beta }_{00}⟩$
• $|{\beta }_{01}⟩->|{\beta }_{01}⟩$
• $|{\beta }_{10}⟩->|{\beta }_{11}⟩$
• $|{\beta }_{11}⟩->|{\beta }_{10}⟩$

       那你肯定要问了，这个关系怎么来的呢，答动笔算的，我算下第四行当做示范，其他的算法一样：

$|{\beta }_{11}⟩\stackrel{U_A{U}_B}{}\frac{(U_A|0)(U_B|1)-(U_A|1)(U_B|1)}{\sqrt{(}2)}=\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}=|{\beta }_{10}⟩$

       在经过酉变换之后，继续送入控制非门进行运算，同样得到如下的对应关系
$$\begin{gathered} |{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{00}⟩\stackrel{酉变换}{}|{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{00}⟩\stackrel{控制非门}{}|{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{00}⟩ \\ |{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{10}⟩\stackrel{酉变换}{}|{\beta }_{00}⟩|{\beta }_{11}⟩\stackrel{控制非门}{}|{\beta }_{10}⟩|{\beta }_{11}⟩ \\ |{\beta }_{10}⟩|{\beta }_{00}⟩\stackrel{酉变换}{}|{\beta }_{11}⟩|{\beta }_{00}⟩\stackrel{控制非门}{}|{\beta }_{11}⟩|{\beta }_{01}⟩ \\ |{\beta }_{10}⟩|{\beta }_{10}⟩\stackrel{酉变换}{}|{\beta }_{11}⟩|{\beta }_{11}⟩\stackrel{控制非门}{}|{\beta }_{11}⟩|{\beta }_{00}⟩ \end{gathered}$$
       这样是不是就一目了然了，比书上的清晰多了。随后比较各自第二位qubit，发现只有第一、四行被保存下来。这里具体说说怎么对比的第二位比特，例如$|{\beta }_{11}⟩|{\beta }_{00}⟩$可以用贝尔态表示为$\frac{|01⟩-|10⟩}{\sqrt{2}}\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}$，A的第二位qubit为0时，B的第二位qubit也为0，A第二位qubit为1时，B的第二位为1，都相同，所以满足保存条件。
       如果你再仔细对比之前展示的概率，就会发现，位相反转这个例子同样计算出的得到正确贝尔态概率为
$$\frac{(1-q{)}^2}{(1-q{)}^2+q^2}$$
       前面已经证明过它是大于$1-q$的，说明通过QAP协议，A和B能够共有贝尔态$|00⟩$的概率比不做任何处理的结果要好。