数学建模模型学习笔记之层次分析法

层次分析法

模型简介

层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简称AHP)是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。是建模比赛中最基础而又最重要的模型之一，主要用于解决评价类问题（比如最佳方案的原则、评选优秀员工等）。

例题导入

我们通过一道例题引出层次分析法。
现在正值五一假期，小王同学想和家人一起出去游玩。在了解相关旅游攻略之后，初步选定了青岛、威海、泰安三地之一作为目标城市。请你确定评价指标、形成评价体系来为小王同学选择最佳旅游方案。
首先我们要明确这是评价类问题，那么首先要想到以下三个问题：

• 评价的目标是什么？
• 为了实现目标有哪些可选方案？
• 评价的准则或指标是什么？

在本问题中，我们做出如下对应回答：

  1.为小王同学选择最佳旅游城市。
  2. 三种，分别是青岛、威海、泰安。 
  3. 本题目没有相关数据支撑，需要我们自己确定。

一般问题解决的关键在于第三点，需要我们根据题目中的背景材料、常识以及搜集的参考资料结合来筛选最合适的指标。
加入我们已经确定好五项指标：景色、花费、居住、饮食、交通五项指标，我们通过权重表格来继续分析：

如果直接考虑五个指标之间的权重关系，常常会因为考虑不周全，顾此失彼而让结果比较片面，因此我们通过分而治之的思想：即两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果进行推算，至此，层次分析法的思想登场。

模型应用

首先根据分而治之的思想进行10次【组合数C（5，2）】比较，用数字作为标度表示具体含义，形成层次分析法中的判断矩阵。
总结：

在层次分析法中，我们构造的判断矩阵满足：矩阵中每个元素都大于0且a(ij)×a(ji)=1，即正互反矩阵。
若正互反矩阵满足a(ij)×a(jk)=a(ik)，我们称其为一致矩阵。
通过一致矩阵计算权重：
方法一：算术平均法求权重

• 将判断矩阵每一个元素除以所在列的和（归一化）

• 将归一化的各列相加

• 将相加后得到的向量中每个元素除以n即得到权重向量
  方法二：几何平均法求权重

• 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

• 将新的向量每个分量开n次方

• 对该列向量进行归一化即可得到权重向量
  方法三：特征值法求权重

• 求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量

• 对求出的特征向量进行归一化即可得到权重
  方法三通过MATLAB实现，在实际论文中，建议三种方法都使用来进行求权重，这样能增加论文的说服力。

总结

本篇博客是学习了清风老师的数学建模学习交流课程的第一讲做的学习笔记，这是我入门数学建模听得第一节课，记录的内容可能较精简，但关于该模型学会如何通过MATLAB来应用以及在论文中阐述出来是重点，而这些内容在清风老师深入浅出的讲解后都能被充分的理解。希望在课后经过老师的指导后能够在论文中合理应用此模型。
另外如果对该模型的深入内容感兴趣或者想了解更多数学建模中其他模型，大家可以在B站或者微店APP自己去搜索清风老师的系列课程，相信大家都能受益匪浅！