电磁场与微波课组(一) 电路理论、相量法与科学哲学

暂态电路

概念

  • 暂态:从一个平衡态过渡到另一个平衡态的过程。快速变化的信号本质上都是处于暂态过程的对象。
    • 比如电容充放电
  • 稳态:系统处在运动变化中,运动状态是稳定的。

似稳电路

在一定近似条件下可以简化:

  • 类比准静态,在变化不太快的情况下
  • 假定任意时刻,电流、电荷分布和电场达到稳定状态
  • 另外似稳条件还忽略涡旋场,所以可以用电势的概念描述。

电路元件

集总元件

  • 把电场集中在很小范围的电容
  • 把磁场集中在很小范围的电感
  • 忽略期间内部的电场和磁场的变化,只在外部应用电流和电压关系。
    所以可以使用Kirchhoff定律

线性元件

R、L、C不会随U、I变化

利用微分方程求解似稳条件下的电路

电容方程

Q = C U Q=CU Q=CU求导,得
i ( t ) = C ⋅ d u d t i(t)=C\cdot\frac{\mathrm du}{\mathrm dt} i(t)=Cdtdu

RC串联电路

充电过程:共同和电源连通
u R + u C = ε {\Large u}_R+{\Large u}_C=\Large\varepsilon uR+uC=ε

R ⋅ C d u d t + u c = ε R\cdot C\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}+u_c=\varepsilon RCdtdu+uc=ε
初值:
u c ( 0 ) = 0 u_c(0)=0 uc(0)=0
求这个微分方程,可得:
u C = ε ( 1 − e − t τ ) {\Large u}_C={\large \varepsilon}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) uC=ε(1eτt)
其中 τ = R C \tau=RC τ=RC,称为RC电路的时间常数。

i = ε − u c R = ε R ⋅ e − t τ i=\frac{\varepsilon-u_c}{R}=\frac{\varepsilon}{R}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}} i=Rεuc=Rεeτt

放电过程,仅R、C接入
u c = u 0 e − t τ u_c=u_0e^{-\frac{t}{\tau}} uc=u0eτt

RL串联方程

理想自感器模型:只有自感效应(电动势),不考虑R、C、互感

似稳条件下:
u L = − ε {\Large u}_L=-\large\varepsilon uL=ε
u L = L d i d t {\Large u}_L=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt} uL=Ldtdi
微分方程:
L d i d t + R ⋅ i = ε L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}+R\cdot i=\varepsilon Ldtdi+Ri=ε
i = ε R + K e − R L t i=\frac{\varepsilon}{R}+Ke^{-\frac{R}{L}t} i=Rε+KeLRt
考虑初值: i ( 0 ) = 0 i(0)=0 i(0)=0 K = ε R K=\frac{\varepsilon}{R} K=Rε

i = ε R ( 1 − e − t τ ) i=\frac{\varepsilon}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) i=Rε(1eτt)
其中 τ = L R \tau=\frac{L}{R} τ=RL

放电对应求电感充电方程的齐次线性方程,代入初值 i = ε R i=\frac{\varepsilon}{R} i=Rε
i = ε R e − t τ i=\frac{\varepsilon}{R}e^{-\frac{t}{\tau}} i=Rεeτt

并联方程

其作法和串联类似,只不过需要求解二阶方程。
一个重点在初值问题的判断。

RLC并联时,连通瞬间:C路近似短路。R、L近似无电流。

原理:电流可突变,电压不可突变。
方法:利用基本物理方程
i = C d u d t i=C\frac{\mathrm du}{\mathrm dt} i=Cdtdu
u = L d i d t u=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt} u=Ldtdi

  • 如果R有电流,意味着 u u u在瞬间增大,那么此时电容器电流趋于无穷大,短路,矛盾。
  • 如果L有电流,意味着电压突变,那么电容的电流无穷大,C路短路,矛盾

磁场能

假设似稳条件成立,考虑感应电动势,电路方程
ε + ε 0 = i ( t ) R \varepsilon+\varepsilon_0=i(t)R ε+ε0=i(t)R
同乘 i d t i\mathrm dt idt
得:
ε i   d t + ε i i   d t = i 2 R   d t \varepsilon i\,\mathrm dt+\varepsilon_ii\,\mathrm dt=i^2R\,\mathrm dt εidt+εiidt=i2Rdt
左边第一部分是右端 的焦耳热,于是我们发现左边第二项能量丢失了?

把它定义成磁场能。

磁场能量密度

w e = 1 2 B → ⋅ H → = 1 2 μ 0 B 2 − 1 2 M → w_e=\frac{1}{2}\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{H}=\frac{1}{2\mu_0}B^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{M} we=21B H =2μ01B221M
利用电路物理量表示为:
d w i = − L d i d t i d t \mathrm dw_i=-L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}i\mathrm dt dwi=Ldtdiidt

w e = 1 2 L i 2 w_e=\frac{1}{2}Li^2 we=21Li2

互感线圈系统单位线圈的总磁能
w m = B → ⋅ B → 2 μ 0 = 1 2 μ 0 ( B 1 → + B 2 → ) 2 = B 1 2 + B 2 2 2 μ 0 + B 1 → ⋅ B 2 → 2 μ 0 w_m=\frac{\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{B}}{2\mu_0}=\frac{1}{2\mu_0}(\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2})^2=\frac{B_1^2+B_2^2}{2\mu_0}+\frac{\overrightarrow{B_1}\cdot\overrightarrow{B_2}}{2\mu_0} wm=2μ0B B =2μ01(B1 +B2 )2=2μ0B12+B22+2μ0B1 B2
与互感线圈对应的部分
∭ V B 1 → ⋅ B 2 → μ 0   d V \iiint\limits_V\frac{\overrightarrow{B_1}\cdot\overrightarrow{B_2}}{\mu_0}\,\mathrm dV Vμ0B1 B2 dV

稳态电路

时刻的电流特征值都不发生改变的电路叫做稳态电路。交流电在振幅、频率、初相稳定时便是稳态电路。

交流电的描述

u = U 0 cos ⁡ ( ω t + θ u ) u=U_0\cos(\omega t+\theta_u) u=U0cos(ωt+θu)

频率、周期、角频率

ω = 2 π f = 2 π T \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T} ω=2πf=T2π
三者都是用于描述时间尺度变化快慢的物理量。由电源频率决定。

相位和初相

ω t + θ u θ u \omega t+\theta_u\\ \theta_u ωt+θuθu
对于一般的已经确定了频率的交流电,我们只需要确定相位即可。

瞬时值、峰值、有效值

  • 峰值:瞬时值随时间变化的幅度
  • 简谐有效值:利用电流热效应进行定义
    U e = 1 T ∫ 0 T u 2 ( t )   d t = U 0 2 U_e=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Tu^2(t)\,\mathrm dt}=\frac{U_0}{\sqrt2} Ue=T10Tu2(t)dt =2 U0
    类似的电流、电源都是 2 \sqrt2 2 的关系。

线性电路的求解

线性电路的稳态过程

达到稳态的过程我们先不讨论。
如果电路时刻都满足似稳条件,在任何时刻,电路中的电压和电流都满足平衡条件,满足Kirchhoff定律。

简谐交流电路方程解的特点

若源电压是稳定不变的简谐函数,则电路有稳态解,且这个解也是同频简谐量。

从而,我们求解线性简谐交流稳态电路的时候,不需要求解微分方程。

稳态电路求解

元件的一般描述——阻抗

Heaviside将“resistance operator”(也就是我们现在所说的阻抗)定义为外加电动势振幅和电流振幅的比值。
q = C u = Q 0 cos ⁡ ω t i = d g d t = d d t ( Q 0 cos ⁡ ω t ) = − ω Q 0 sin ⁡ ω t = I 0 cos ⁡ ( ω t + φ i ) u = U 0 cos ⁡ ( ω t + φ u ) = Q 0 C q=Cu=Q_0\cos\omega t\\ i=\frac{\mathrm dg}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(Q_0\cos\omega t)=-\omega Q_0\sin \omega t=I_0\cos(\omega t+\varphi_i)\\ u=U_0\cos(\omega t+\varphi_u)=\frac{Q_0}{C} q=Cu=Q0cosωti=dtdg=dtd(Q0cosωt)=ωQ0sinωt=I0cos(ωt+φi)u=U0cos(ωt+φu)=CQ0
那么,利用有效值的关系,我们可以定义容抗
U 0 I 0 = △ Z C = 1 ω C \frac{U_0}{I_0}\xlongequal{\triangle}Z_C=\frac{1}{\omega C} I0U0 ZC=ωC1
同样地,定义感抗
Z L = ω L Z_L=\omega L ZL=ωL

求解法

复阻抗与阻抗三角形法

背景探明

Kennelly在Heaviside的阻抗概念基础上,将阻抗和几何关系连接起来,利用与 R R R相垂直的两个向量 ω L \omega L ωL(inductance-speed), 1 ω C \frac{1}{\omega C} ωC1(capacity-speed-reciprocal)的和,基本统一了三个基本器件的阻碍效应描述。
同时,他著名的文章中提出,如果将电容、电感的阻抗记为 1 j ω C \frac{1}{j\omega C} jωC1 ω L \omega L ωL,它们的运算满足Ohm定律。这与矢量法的结果是一致的。这也是启迪Steinmetz的:

若用复数 a + b j = r ( cos ⁡ φ + j sin ⁡ φ ) a+bj=r(\cos\varphi+j\sin\varphi) a+bj=r(cosφ+jsinφ)表示阻抗,则任何包含
电阻、非铁磁性电感和电容的正弦交流电路都可以使用直流规则处理,相应的代数运算按照复数的运算法则进行··· ···
据我所知,在这篇论文中,Kennelly率先在电气术语‘阻抗’和复数之间建立了一种对应关系。其重要性在于:研究者关于复平面的分析已比较透彻,因此,将电气问题转化为对复数的分析,就将它们带到一个已知的、理解得比较好的科学领域。”

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  • (化陌生为熟悉)将电气问题转化为对复数的分析,在某种程度上说,这个飞跃是天才的。

一说复数是由Wallis提出的,虽有争论,但Kennelly实在与Wallis如出一辙,不妨写在这里。

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  • (大胆假设)Wallis不愿受传统的严格性和逻辑性的束缚,大胆地采用虽不成熟但较常用的方法:类比法、不完全归纳法以及不太明确的无穷大、无穷小概念,并坦然地对它们作代数运算,从而获得了前所未有的结果。他曾说:“我把(不完全)归纳法和类比当作一种很好的考察方法,因为这种方法的确常常使我们很容易发现一般规律,或者至少是为此而作了一个很好的准备.”关于复数的引入,可能是Wallis写出二次方程显示解的一个大胆尝试。
电路特点

C、L上的电压和电流都简谐周期变化。
但相位不同步。结果量比动因晚 π 2 \frac{\pi}{2} 2π个周期
在L、C元件加入普通抗性电路的时候,其总有一个相差 π 2 \frac{\pi}{2} 2π的量。

数学理解

同频简谐振动在 x , y x,y x,y轴上的分量之和,可以(利用矢量的平行四边形法则)表示成同频转动合矢量在相应坐标轴上的投影。

如果展开,形式上类似方向余弦的展开式。这也是辅助角公式的实质。这里的辅助角也就是阻抗角。

解决原则

在解决比较复杂的电路时,应该把最小的单元中电阻上的电流和电压作为基准矢量。同时,放在一个坐标系里叠加,注意矢量的模有实际的物理意义。

对于单纯的串并联电路或极少数的混连电路,各个矢量之间相差不是超前就是落后 π 2 \frac{\pi}{2} 2π,所以大都是直角三角形,是易解的。比如下面这个问题


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一个有助于熟悉基本方法的例题:三个元件阻抗相同。(详见王稼军老师MOOC10.2.2)

但是我们仍然会发现有比较复杂的电路,当没有给出简明的阻抗关系时,复杂度雪上加霜。
为了解决这样的问题,我们引入了相量法。

相量法

相量法

De Moivre公式之后的复数,被赋予了相对于向量更加优美简明而有力的几何性质。

同频简谐量的求解,并不需要关心 ω \omega ω了,但什么能更加简洁地表示一个稳态交流电路时域量的模长和相角呢?在1894年的论文Complex Quantities and Their Use in Electrical Engineering中,Steinmetz博士创新性地继承了Kennelly关于复数表示阻抗的观点,提出相量法,利用复数向量表示以上的时域表达式,使得交流电运算不简明的缺陷被大大克服。
为Tesla的交流电战胜Edison的直流,以及美国电气工业的后续蓬勃提供了可能。

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  1. 做研究,要站在前人的肩膀上。
  2. 工程技术和理论研究是相互促进的。Steinmetz是为了工程竞标才着眼总结相量法,转而大大优化了他在Niagara瀑布发电站的交流电机的工程分析。

原理:简谐函数记作复数,利用这个复数进行计算之后,再取实部作为所求的解,就是相量法的实质。

为什么适用?

  1. Fourier变换可以将大量满足条件的函数表示成简谐函数的和
  2. Euler公式可以将简谐量与复数连接起来
  3. Euler公式的另一端是 e e e的指数函数,求导、积分的性质优良。

从而,我们可以就将微积分运算化成初等代数运算,这是最卓著的优化之一:
d d t A ~ = d d t [ A 0 e j ( ω t + θ ) ] = j ω A ~ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\widetilde{A}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[A_0e^{j(\omega t+\theta)}]=j\omega \widetilde{A} dtdA =dtd[A0ej(ωt+θ)]=jωA
∫ A ~ = ∫ [ A 0 e j ( ω t + θ ) ] = 1 j ω A ~ \int\widetilde{A}=\int [A_0e^{j(\omega t+\theta)}]=\frac{1}{j\omega}\widetilde{A} A =[A0ej(ωt+θ)]=jω1A
利用这个求得基本电路元件的电路方程的复数表示:
i ~ = C d d t [ U 0 e j ( ω t + φ ) ] = j ω C U ~ \widetilde{i}=C\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[U_0e^{j(\omega t+\varphi)}]=j\omega C\widetilde{U} i =Cdtd[U0ej(ωt+φ)]=jωCU
u ~ = L d d t [ I 0 e j ( ω t + φ ) ] = j ω L i ~ \widetilde{u}=L\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[I_0e^{j(\omega t+\varphi)}]=j\omega L\widetilde{i} u =Ldtd[I0ej(ωt+φ)]=jωLi
这与复阻抗是一致的。

以上是这个阶段解题所需用的部分。
在这个过程当中,将一般的微分方程、三角变换、微积分运算,连同 t t t量一同抵消掉了,这是极其伟大的。

关于相量形式的Kirchhoff定律,以及频率特性等留待以后讨论。

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