电磁场与微波课组（一） 电路理论、相量法与科学哲学

暂态电路

概念

• 暂态：从一个平衡态过渡到另一个平衡态的过程。快速变化的信号本质上都是处于暂态过程的对象。
  • 比如电容充放电
• 稳态：系统处在运动变化中，运动状态是稳定的。

似稳电路

在一定近似条件下可以简化：

• 类比准静态，在变化不太快的情况下
• 假定任意时刻，电流、电荷分布和电场达到稳定状态
• 另外似稳条件还忽略涡旋场，所以可以用电势的概念描述。

电路元件

集总元件

• 把电场集中在很小范围的电容
• 把磁场集中在很小范围的电感
• 忽略期间内部的电场和磁场的变化，只在外部应用电流和电压关系。
  所以可以使用Kirchhoff定律

线性元件

R、L、C不会随U、I变化

利用微分方程求解似稳条件下的电路

电容方程

对$Q=CU$求导，得
$$i(t)=C\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$$

RC串联电路

充电过程：共同和电源连通
$$u_R+u_C=\epsilon$$
即
$$R\cdot C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u_c=\epsilon$$
初值：
$$u_c(0)=0$$
求这个微分方程，可得：
$$u_C=\epsilon (1-e^{-\frac{t}{\tau }})$$
其中$\tau =RC$，称为RC电路的时间常数。

$$i=\frac{\epsilon -u_c}{R}=\frac{\epsilon }{R}\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

放电过程，仅R、C接入
$$u_c=u_0{e}^{-\frac{t}{\tau }}$$

RL串联方程

理想自感器模型：只有自感效应（电动势），不考虑R、C、互感

似稳条件下：
$$u_L=-\epsilon$$
$$u_L=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$$
微分方程：
$$L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+R\cdot i=\epsilon$$
$$i=\frac{\epsilon }{R}+K{e}^{-\frac{R}{L}t}$$
考虑初值：$i(0)=0$得$K=\frac{\epsilon }{R}$
即
$$i=\frac{\epsilon }{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau }})$$
其中$\tau =\frac{L}{R}$

放电对应求电感充电方程的齐次线性方程，代入初值$i=\frac{\epsilon }{R}$：
$$i=\frac{\epsilon }{R}{e}^{-\frac{t}{\tau }}$$

并联方程

其作法和串联类似，只不过需要求解二阶方程。
一个重点在初值问题的判断。

例 RLC并联时，连通瞬间：C路近似短路。R、L近似无电流。

原理：电流可突变，电压不可突变。
方法：利用基本物理方程
$$i=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$$
$$u=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$$

• 如果R有电流，意味着$u$在瞬间增大，那么此时电容器电流趋于无穷大，短路，矛盾。
• 如果L有电流，意味着电压突变，那么电容的电流无穷大，C路短路，矛盾

磁场能

假设似稳条件成立，考虑感应电动势，电路方程
$$\epsilon +{\epsilon }_0=i(t)R$$
同乘$i\mathrm{d}t$
得：
$$\epsilon i\mathrm{d}t+{\epsilon }_{i}i\mathrm{d}t=i^{2}R\mathrm{d}t$$
左边第一部分是右端 的焦耳热，于是我们发现左边第二项能量丢失了？

把它定义成磁场能。

磁场能量密度

$$w_e=\frac{1}{2}B\cdot H=\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2-\frac{1}{2}M$$
利用电路物理量表示为：
$$\mathrm{d}{w}_i=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}i\mathrm{d}t$$
故
$$w_e=\frac{1}{2}L{i}^2$$

互感线圈系统单位线圈的总磁能
$$w_m=\frac{B\cdot B}{2{\mu }_0}=\frac{1}{2{\mu }_0}(B_1+B_2{)}^2=\frac{B_1^2+B_2^2}{2{\mu }_0}+\frac{B_1\cdot B_2}{2{\mu }_0}$$
与互感线圈对应的部分
$$\underset{V}{\iiint }\frac{B_1\cdot B_2}{{\mu }_0}\mathrm{d}V$$

稳态电路

时刻的电流特征值都不发生改变的电路叫做稳态电路。交流电在振幅、频率、初相稳定时便是稳态电路。

交流电的描述

$u=U_0\cos (\omega t+{\theta }_u)$

频率、周期、角频率

$$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$$
三者都是用于描述时间尺度变化快慢的物理量。由电源频率决定。

相位和初相

$$\begin{gathered} \omega t+{\theta }_u \\ {\theta }_u \end{gathered}$$
对于一般的已经确定了频率的交流电，我们只需要确定相位即可。

瞬时值、峰值、有效值

• 峰值：瞬时值随时间变化的幅度
• 简谐有效值：利用电流热效应进行定义
  $$U_e=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{u}^2(t)\mathrm{d}t}=\frac{U_0}{\sqrt{2}}$$
  类似的电流、电源都是$\sqrt{2}$的关系。

线性电路的求解

线性电路的稳态过程

达到稳态的过程我们先不讨论。
如果电路时刻都满足似稳条件，在任何时刻，电路中的电压和电流都满足平衡条件，满足Kirchhoff定律。

简谐交流电路方程解的特点

若源电压是稳定不变的简谐函数，则电路有稳态解，且这个解也是同频简谐量。

从而，我们求解线性简谐交流稳态电路的时候，不需要求解微分方程。

稳态电路求解

元件的一般描述——阻抗

Heaviside将“resistance operator”（也就是我们现在所说的阻抗）定义为外加电动势振幅和电流振幅的比值。
$$\begin{gathered} q=Cu=Q_0\cos \omega t \\ i=\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(Q_0\cos \omega t)=-\omega Q_0\sin \omega t=I_0\cos (\omega t+{\phi }_i) \\ u=U_0\cos (\omega t+{\phi }_u)=\frac{Q_0}{C} \end{gathered}$$
那么，利用有效值的关系，我们可以定义容抗
$$\frac{U_0}{I_0}\stackrel{△}{}{Z}_C=\frac{1}{\omega C}$$
同样地，定义感抗
$$Z_L=\omega L$$

求解法

复阻抗与阻抗三角形法

背景探明

Kennelly在Heaviside的阻抗概念基础上，将阻抗和几何关系连接起来，利用与$R$相垂直的两个向量$\omega L$(inductance-speed)，$\frac{1}{\omega C}$(capacity-speed-reciprocal)的和，基本统一了三个基本器件的阻碍效应描述。
同时，他著名的文章中提出，如果将电容、电感的阻抗记为$\frac{1}{j\omega C}$和$\omega L$，它们的运算满足Ohm定律。这与矢量法的结果是一致的。这也是启迪Steinmetz的：

若用复数$a+bj=r(\cos \phi +j\sin \phi )$表示阻抗，则任何包含
电阻、非铁磁性电感和电容的正弦交流电路都可以使用直流规则处理，相应的代数运算按照复数的运算法则进行··· ···
据我所知，在这篇论文中，Kennelly率先在电气术语‘阻抗’和复数之间建立了一种对应关系。其重要性在于：研究者关于复平面的分析已比较透彻，因此，将电气问题转化为对复数的分析，就将它们带到一个已知的、理解得比较好的科学领域。”

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• （化陌生为熟悉）将电气问题转化为对复数的分析，在某种程度上说，这个飞跃是天才的。

一说复数是由Wallis提出的，虽有争论，但Kennelly实在与Wallis如出一辙，不妨写在这里。

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• （大胆假设）Wallis不愿受传统的严格性和逻辑性的束缚,大胆地采用虽不成熟但较常用的方法：类比法、不完全归纳法以及不太明确的无穷大、无穷小概念，并坦然地对它们作代数运算，从而获得了前所未有的结果。他曾说：“我把(不完全)归纳法和类比当作一种很好的考察方法,因为这种方法的确常常使我们很容易发现一般规律，或者至少是为此而作了一个很好的准备.”关于复数的引入，可能是Wallis写出二次方程显示解的一个大胆尝试。

电路特点

C、L上的电压和电流都简谐周期变化。
但相位不同步。结果量比动因晚$\frac{\pi }{2}$个周期
在L、C元件加入普通抗性电路的时候，其总有一个相差$\frac{\pi }{2}$的量。

数学理解

同频简谐振动在$x,y$轴上的分量之和，可以（利用矢量的平行四边形法则）表示成同频转动合矢量在相应坐标轴上的投影。

如果展开，形式上类似方向余弦的展开式。这也是辅助角公式的实质。这里的辅助角也就是阻抗角。

解决原则

在解决比较复杂的电路时，应该把最小的单元中电阻上的电流和电压作为基准矢量。同时，放在一个坐标系里叠加，注意矢量的模有实际的物理意义。

对于单纯的串并联电路或极少数的混连电路，各个矢量之间相差不是超前就是落后$\frac{\pi }{2}$,所以大都是直角三角形，是易解的。比如下面这个问题

例
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一个有助于熟悉基本方法的例题：三个元件阻抗相同。（详见王稼军老师MOOC10.2.2）

但是我们仍然会发现有比较复杂的电路，当没有给出简明的阻抗关系时，复杂度雪上加霜。
为了解决这样的问题，我们引入了相量法。

相量法

相量法

De Moivre公式之后的复数，被赋予了相对于向量更加优美简明而有力的几何性质。

同频简谐量的求解，并不需要关心$\omega$了，但什么能更加简洁地表示一个稳态交流电路时域量的模长和相角呢？在1894年的论文Complex Quantities and Their Use in Electrical Engineering中，Steinmetz博士创新性地继承了Kennelly关于复数表示阻抗的观点，提出相量法，利用复数向量表示以上的时域表达式，使得交流电运算不简明的缺陷被大大克服。
为Tesla的交流电战胜Edison的直流，以及美国电气工业的后续蓬勃提供了可能。

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1. 做研究，要站在前人的肩膀上。
2. 工程技术和理论研究是相互促进的。Steinmetz是为了工程竞标才着眼总结相量法，转而大大优化了他在Niagara瀑布发电站的交流电机的工程分析。

原理：简谐函数记作复数，利用这个复数进行计算之后，再取实部作为所求的解，就是相量法的实质。

为什么适用？

1. Fourier变换可以将大量满足条件的函数表示成简谐函数的和
2. Euler公式可以将简谐量与复数连接起来
3. Euler公式的另一端是$e$的指数函数，求导、积分的性质优良。

从而，我们可以就将微积分运算化成初等代数运算，这是最卓著的优化之一：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[A_0{e}^{j(\omega t+\theta )}]=j\omega A$$
$$\int A=\int [A_0{e}^{j(\omega t+\theta )}]=\frac{1}{j\omega }A$$
利用这个求得基本电路元件的电路方程的复数表示：
$$i=C\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[U_0{e}^{j(\omega t+\phi )}]=j\omega CU$$
$$u=L\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[I_0{e}^{j(\omega t+\phi )}]=j\omega Li$$
这与复阻抗是一致的。

以上是这个阶段解题所需用的部分。
在这个过程当中，将一般的微分方程、三角变换、微积分运算，连同$t$量一同抵消掉了，这是极其伟大的。

关于相量形式的Kirchhoff定律，以及频率特性等留待以后讨论。