[note] 电磁场和微波课组(二) 波动学: 振动和波

简谐振动

概念

  • 机械振动:在一定位置附近所作的来回往复运动
  • 简谐振动:字面理解为简单和谐的振动。即离开平衡位置的位移按照余弦函数的规律随时间变化。
  • 弹簧振子:质量为 m m m的物体系于一端固定的轻弹簧自由端所组成的力学系统。
  • (弹簧振子的)平衡位置:弹簧为原长时,物体所受的合力为 0 0 0,处于平衡状态的位置
  • 回复力:振动过程中使物体趋向平衡位置的力。
  • 线性回复力:谐振的动力学特征

运动学描述

x = A cos ⁡ ( ω t + φ 0 ) x=A\cos(\omega t+\varphi_0) x=Acos(ωt+φ0)

振幅A

离开平衡位置的最大位移的绝对值

周期和频率

简谐运动的主要运动特征周期性。

  • 完成依次完整振动所需的时间称为周期
  • 单位时间所完全振动的次数称为频率
    ν = 1 T = ω 2 π \nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi} ν=T1=2πω

(弹簧振子的)固有频率:
ω = k m \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} ω=mk
这是微分方程解的直接结果。可以看出这个值仅有弹簧振子的系统决定。

相位 ( ω t + φ 0 ) (\omega t+\varphi_0) (ωt+φ0)

很本质的特征

重要概念:

  • 相位差 Δ φ = ( ω t 2 + φ 20 ) − ( ω 1 t + φ 10 ) \Delta \varphi=(\omega t_2+\varphi_{20})-(\omega_1 t+\varphi_{10}) Δφ=(ωt2+φ20)(ω1t+φ10)
  • 初相 t = 0 , φ 0 t = 0, \varphi_0 t=0,φ0
  • 初相差(两个波的频率相同时的相位差)

超前落后的判别:
两个相位相差小于 2 π 2\pi 2π的波,其中被减的波称为超前波,超前的量决定于它们的相位差。这个图像在旋转矢量图中很容易看出

运动学特征

位移和加速度关系的运动方程可以利用牛二:
d 2 x d t 2 = − k m x \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-\frac{k}{m}x dt2d2x=mkx

解这个微分方程,可以设方程的通解为 C 1 cos ⁡ ω x + C 2 sin ⁡ ω x C_1\cos\omega x+C_2\sin\omega x C1cosωx+C2sinωx

利用辅助角公式,我们可以将其化成:
A cos ⁡ ( ω t + φ 0 ) A\cos(\omega t+\varphi_0) Acos(ωt+φ0)
的形式。如果有初值条件(实际问题是往往具有的),从而位移的特征就唯一地确定下来。

简谐振动的能量关系

简谐振动成立的条件就在于能量不耗散,从而机械能守恒。

对水平弹簧振子
1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = E \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=E 21mv2+21kx2=E
求导,
m v d v d t + k x d x d t = 0 mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}+kx\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0 mvdtdv+kxdtdx=0
代入 v = d x d t v=\frac{\mathrm d x}{\mathrm dt} v=dtdx,导出了运动方程。

这给我们指出了一条解决运动方程的好思路。

例题 利用能量法求解有重弹簧振子的周期。

几种常见的简谐振动

  • 不可伸长细轻绳,上端固定于重力场中一个定点,下端固结重小球,构成单摆
  • 可绕固定轴摆动的刚体称为复摆

对单摆,在摆动幅度极小时,近似认为 l = h , J = m l 2 l=h, J=ml^2 l=h,J=ml2 , sin ⁡ θ ≈ θ ,\sin\theta\approx\theta ,sinθθ
对运动方程:
− m g h sin ⁡ θ = J d 2 θ d t 2 -mgh\sin\theta=\bm{J}\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2} mghsinθ=Jdt2d2θ
原式转化为:
d 2 θ d t 2 = − ω 2 θ \frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2}=-\omega^2\theta dt2d2θ=ω2θ

旋转矢量图示法

矢量为我们提供了可以同时表示 A , ω , φ 0 A,\omega, \varphi_0 A,ω,φ0三个物理量的运算系统。

我们应该注意到,仅旋转矢量的 x x x轴投影即可以包含我们所需的所有信息。

由于圆中的弧度的几何关系特别明确且易用,所以这个方法主要用来求算相位差。

  1. 振幅为长度作单位圆,称为参考圆。
  2. 矢量投影建立起位移相位的关系。

小结:

  • 受到线性回复作用的振动运动叫做简谐振动
  • 典型的简谐振动

实际振动

阻尼振动(了解)

F f = − γ v = − γ d x d t F_f=-\gamma v=-\gamma\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} Ff=γv=γdtdx
阻尼的情形:

  • 过阻尼
  • 临界阻尼 γ = k \gamma=k γ=k,或阻尼常量 γ m = ω 0 \frac{\gamma}{m}=\omega_0 mγ=ω0
  • 小阻尼

振动的合成

两个同方向同频率SH的合成

解析法:和差化积(困难)
矢量的平行四边形法。结合余弦定理
A = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ⁡ ( Δ φ ) A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\varphi)} A=A12+A22+2A1A2cos(Δφ)
于是我们可以很清楚的看到,这个振幅和相位差有关。而对向运动的两个波,在其间一个确定的位置上对两波的相位差是一定的。所以在移动麦克风的过程当中出现了波峰波谷

多个同方向同频率SH的合成

方法同两个求解类似。

振幅最大最小值不一定在同相、反相处取

两个同方向不同频率SH合成

这里研究一个特殊的情形:
即振幅相等的情形:
x = x 1 + x 2 = 2 A cos ⁡ ( ω 1 − ω 2 2 ) t ⋅ cos ⁡ ( ω 1 + ω 2 2 ) t x=x_1+x_2=2A\cos(\frac{\omega_1-\omega_2}{2})t\cdot\cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})t x=x1+x2=2Acos(2ω1ω2)tcos(2ω1+ω2)t
整个图像是一个斜拉索桥的形状,第一个余弦导致桥拱的出现,第二个余弦导致拉索。

桥拱对应拍频,对应余弦的两倍频率。
ν = 2 ∣ ( ω 1 − ω 2 ) / 2 ∣ 2 π = ∣ ν 1 − ν 2 ∣ \nu=2\frac{|(\omega_1-\omega_2)/2|}{2\pi}=|\nu_1-\nu_2| ν=22π(ω1ω2)/2=ν1ν2

两个垂直方向简谐振动

  • 同频振动:总会画出椭圆或者退化的椭圆

  • 非同频振动:整数周期利用李萨如图形判别频率之比

机械波

机械波的产生和传播

产生

  • 波源
  • 弹性介质

横波和纵波

  • 横波:质点振动方向 ⊥ \bot 波传播方向
  • 纵波:质点振动方向//波传播方向

波的本质

相位的传播,波动中各个质点不随波前进

波的描述

力线描述

波面:振动相位相同的点联结成的面
波线:沿波的传播方向的直线
波前:某一时刻波传播到的最前面的波面

振动描述

波长:统一波线上相位差为 2 π 2\pi 2π的相邻两点距离(空间尺度的周期)
周期:前进一个波长所需时间
波速:振动状态在媒质中的传播速度
u = λ T u=\frac{\lambda}{T} u=Tλ

波的频率 ν \nu ν与媒质性质无关,波速受媒质影响,拉紧的绳中横波波速 u t = T μ u_t=\sqrt{\frac{T}{\mu}} ut=μT ,均匀细棒中纵波波速 u l = Y ρ u_l=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} ul=ρY

最简明模型——平面简谐波

波面为平面的简谐波

对于这个模型,为了研究空间中各点,只用研究和波面垂直的一条线上的波函数分布即可。

平面简谐波的波函数方程,利用波源振动方程,以及波程差,可以写作:

y ( x , t ) = A cos ⁡ [ ω ( t − x u ) + φ 0 ] y(x,t)=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi_0\right] y(x,t)=Acos[ω(tux)+φ0]
分析知,给定 x x x后,方程退化成某个波面上点的振动方程。给定 t t t后,方程退化成 t t t时刻的波的位移分布图像。

求平面简谐波函数的步骤

step 0:取定基准点
step 1:求相位差
Δ φ = ω ⋅ Δ t = x − x 1 u \Delta\varphi=\omega\cdot\Delta t=\frac{x-x_1}{u} Δφ=ωΔt=uxx1

step 2:求相位
如果波正向传播,那么基准点相位落后。
反之超前。
φ 0 ± Δ φ \varphi_0\pm\Delta \varphi φ0±Δφ

step 3:写出波函数
分析知,仅相位变化。
y ( x , t ) = A cos ⁡ ( φ 0 + Δ φ ) y(x,t)=A\cos(\varphi_0+\Delta \varphi) y(x,t)=Acos(φ0+Δφ)

平面波的波动微分方程

将这个简谐波的二元函数。分别关于 x x x t t t求二阶偏导数,随后相除可以得到:
∂ 2 y ∂ x 2 = 1 u 2 ∂ 2 y ∂ t 2 \frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2} x22y=u21t22y

结合这个波动方程,设弦线张力 F F F,那么对弦线上任一点:
∑ F y = F ( tan ⁡ θ ′ − tan ⁡ θ ) = F ( ∂ y ∂ x ∣ x + d x − ∂ y ∂ x ∣ x ) \sum F_y=F(\tan\theta'-\tan\theta)=F\left(\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{x+\mathrm dx}-\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_x\right) Fy=F(tanθtanθ)=F(xyx+dxxyx)
∑ F y = F ( ∂ 2 y ∂ x 2 )   d x \sum F_y=F\left(\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\right)\,\mathrm dx Fy=F(x22y)dx
结合牛二得:
F ( ∂ 2 y ∂ x 2 )   d x = ρ l   d x ∂ 2 y ∂ t 2 F\left(\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\right)\,\mathrm dx=\rho_l\,\mathrm dx\frac{\partial ^2y}{\partial t^2} F(x22y)dx=ρldxt22y
结合波动方程得
1 u 2 = ρ l F \frac{1}{u^2}=\frac{\rho_l}{F} u21=Fρl
即波动方程:
u = F ρ l u=\sqrt{\frac{F}{\rho_l}} u=ρlF
F F F既是张力,又是线度模量。

波的复杂叠加

Huygens原理

原理叙述

见百科。

应用

理解波阵面

这里有一个重要结论,即:同一介质中波阵面与波源波阵面平行。

解释波的衍射

(波传播过程中遇到障碍物时,能绕过障碍物,并发生偏折的现象):

波传播至障碍物边缘处时,发射的子波包络面不再是平面,而是偏离原有方向,进入本来不可能进入的区域。

解释反射与折射

考核不要求。

驻波

驻波是波的一种空间特性。

干涉

两列波在空间相遇叠加,
A = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ⁡ Δ φ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi} A=A12+A22+2A1A2cosΔφ

我们讨论一种特例情况,即两个波相干(波长频率相同)
Δ φ = 2 π λ δ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta Δφ=λ2πδ
波程差:
δ = ∣ r 1 − r 2 ∣ \delta = |r_1-r_2| δ=r1r2

加强条件:

δ = N λ \delta=N\lambda δ=Nλ

相抵条件

δ = ( N + 1 2 ) λ \delta = (N+\frac{1}{2})\lambda δ=(N+21)λ

驻波

如果两列相反传播的相干波,振幅相同。那么存在部分点相抵,而宏观上静止。从而形成一种空间分布特征不变化的波,也就是驻波。这一点区别于行波。

驻波的描述

y = y 1 + y 2 = A cos ⁡ 2 π ( t T − x λ ) + A cos ⁡ 2 π ( t T + x λ ) y=y_1+y_2=A\cos2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})+A\cos2\pi(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda }) y=y1+y2=Acos2π(Ttλx)+Acos2π(Tt+λx)

利用和差化积公式得到:
y = 2 A cos ⁡ 2 π λ x cos ⁡ 2 π T t y=2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x\cos\frac{2\pi}{T}t y=2Acosλ2πxcosT2πt

物理图像上,有两种典型的不同的

  • 不动点称为波节
  • 幅值最大点称为波腹

分布特征

  • 振幅按位移分布
    a ( x ) = ∣ 2 A cos ⁡ 2 π λ x ∣ a(x)=|2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x| a(x)=2Acosλ2πx
    将这个公式代入驻波公式,可以得到
    y = a ( x ) cos ⁡ 2 π T t y=a(x)\cos\frac{2\pi}{T}t y=a(x)cosT2πt
    每个空间周期内对应点处仅在空间特征上相区分。
    每个空间周期中对应点都是同相振动。

能量

波腹处只有动能无势能。波节处仅有势能无动能。每过 1 4 \frac{1}{4} 41周期,发生一次相互转化。

半波损失

如果考察点处于波节处,显然会出现运动的损失。

多普勒效应

波长、波速、波频关系

u = λ γ u=\lambda \gamma u=λγ

波源不动,接收者运动的波长、速度、频率关系

γ w = γ s \gamma_w=\gamma_s γw=γs
λ = u γ w = u γ s \lambda = \frac{u}{\gamma_w}=\frac{u}{\gamma_s} λ=γwu=γsu
其中 γ w \gamma_w γw是波频 γ s \gamma_s γs是波源频率。

观测者接收频率:
γ r = u ± v r λ = u ± v r u γ s \gamma_r=\frac{u\pm v_r}{\lambda}=\frac{u\pm v_r}{u}\gamma_s γr=λu±vr=uu±vrγs

解释:波长仍然均匀,但是相对波速发生变化,所以相当于时间收缩(相对)/膨胀(相向),分别对应符号的正/负。

接收者不动,波源运动的波长、速度、频率关系

λ ′ = u T s ± v s T s \lambda'=uT_s\pm v_sT_s λ=uTs±vsTs
γ w = γ r = u λ ′ = u ( u ± v s ) T s = u u ± v s γ s \gamma_w=\gamma_r=\frac{u}{\lambda'}=\frac{u}{(u\pm v_s)T_s}=\frac{u}{u\pm v_s}\gamma_s γw=γr=λu=(u±vs)Tsu=u±vsuγs

解释: 波速 u u u不变的情况下,波长发生不均匀变化,相当于空间上膨胀、收缩。

关于两种情形的记忆

  1. 考虑核心的 γ = u λ \gamma=\frac{u}{\lambda} γ=λu公式。
  2. 波源动,(是波长不均匀,变化)在分母;接收者动,(是相对波速不均匀,变化)在分子
  3. 大小关系临时推演即可。

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