如何理解矩阵特征值的意义？
如何理解矩阵特征值的意义？
毕业多年，曾经有同事问我该如何理解特征值的意义？
当时，实在羞愧，我一学数学的，真不知该如何回答。
极力回想，也只能以“特征值的求法、步骤…bla…bla…”应付了事，
答非所问，简直了得！
这样的答案教科书里写得清清楚楚，网上Google/百度一大堆，
人家问的是意义，如何理解其意义？
直扣灵魂，
我真的曾经理解过它的意义吗？？？
招了吧，真没有！
原在数学系时，教室里，对着黑板一堆密密麻麻的公式，我也是时常神游天外的主…
考试前，为了避免挂科才熬夜突击，对着书本一一比划，至少要演算两到三张稿纸，才能勉强记住方法、步骤，哪还管得着它的意义？
这种突击式的训练记忆，忘得也快，就像写代码一样，过一阵就忘了！
课堂上，老师大多是照本宣科。
当年，
也许是自己知识阅历不够，很难理解其意义，
也许是努力不够，被足球耽误了。
也许是天赋所致，不能顿悟！
…
总之，确定那时我肯定是没有理解它的意义的。
不知道现在有多少学生还是一样？
在学习一些抽象的数学工具时，代换三、四步之后就不知所云了，往往只能靠记忆强撑，而这种记忆最多维持一周，年轻时可能长点，后来，说忘就忘了…。
有极少数天才，能在抽象世界里面一直转，抽啊抽，一直抽…并最终以此为业。
而大多数人（99+%），一到毕业，就尴尬，因为真的不理解其意义，
看似学了一些高深的数学知识，只会做题，不会运用，根本不理解公式指代符号的现实映射！进而职场上，其它方面训练缺失的短板逐渐显现后，囧是必然！
我想，这不单是数学教育的问题，也是其它各方面可能会尴尬的本源：
不理解意义！
好，扯远了，回到正题，来看灵魂之问：
如何理解特征值的意义？
最近才有些感悟，和大家分享一下。
说到特征值 λ \lambda λ，数学上，基本上是指矩阵的特征值。
说到矩阵，高等代数几乎一整本书都在讲它，最著名的数学软件叫Matlab，直译为矩阵实验室，足见其高深、复杂！
而这么复杂混乱的东西确有一个特征值， 难道不奇怪？
再说，矩阵到底有多复杂混乱？看数学公式体会一下吧：
这是一堆数，每一个数字都可以在实数域内取值（正、负、零）， m 或 n m或n m或n可以无限的延伸，联想到现在的大数据，还有什么东西不能由它表示呢？如果您相信万物皆数，这儿都可以说万物皆矩阵了，万物，能不复杂？
另外，这一堆数既可以表示数据记录，还可以表示某种不知名的抽象运算（物理上叫算子），这样的数学运算，对某些对象集，确仅仅以固有的方式伸缩，且不管它是数据记录还是抽象运算，全都一样！
如此混乱复杂！ 确有本征!
这不神奇吗？
数学就是这样，抽象、高级、有理！
如果这样说感觉虚玄，那么先来看一下它精确（枯燥）的数学定义：
特征值 λ \lambda λ
设 A A A是一 n × n n \times n n×n矩阵， ξ \xi ξ是一 n n n维非零列向量，若存在一数 λ \lambda λ，使得
A ξ = λ ξ A\xi=\lambda\xi Aξ=λξ
则称 λ \lambda λ为 A A A的一个特征值， ξ \xi ξ为 A A A的属于特征值 λ \lambda λ的一个特征向量。
展开 A ξ = λ ξ A\xi=\lambda\xi Aξ=λξ，
即
[ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ] [ x 1 x 2 . . . x n ] = λ [ x 1 x 2 . . . x n ] = [ λ x 1 λ x 2 . . . λ x n ] \left [ \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ...& ...&... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{array} \right] \left [ \begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n}\\ \end{array}\right]=\lambda\left [ \begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n}\\ \end{array}\right]=\left [ \begin{array}{c} \lambda x_{1}\\ \lambda x_{2}\\ ...\\ \lambda x_{n}\\ \end{array}\right] ⎣⎢⎢⎡a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡x1x2...xn⎦⎥⎥⎤=λ⎣⎢⎢⎡x1x2...xn⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡λx1λx2...λxn⎦⎥⎥⎤
若把矩阵的每一行理解为一个基向量 ε i \varepsilon_{i} εi，则是表示基向量与该向量的内积 （ ε i ∙ ξ ） （\varepsilon_{i}\bullet\xi） （εi∙ξ） 等于 λ x i \lambda x_{i} λxi。
感觉公式真的很枯燥的话，就先跳过上面吧。
下面我将从三个方面来试图阐释其意义，以便大家更好的理解。
- 几何上
- 医学上
- 物理上
（一）几何上
如果把矩阵理解为一个坐标系（不一定直角的，也可能是严重变形的“尺子”），有一类向量叫特征向量，其中的任一个向量，在该矩阵上的投影，都只是自身固定的伸缩！
如何理解投影呢？且拿三维来理解吧，一根射线在另外一个坐标系（矩阵）下的影子，其每一轴都会有投影分量，把所有分量组合还原成影子，跟其自身共线，影子和射线的长度比值永远固定，这个比值就是特征值，简如下图。
而该比值对这条直线上的所有向量都适应，即无论射线长短。 那么有多少条这样的直线呢？ n n n维矩阵最多有 n n n条，每一条的比值（特征值）可能都不一样，有大有小，都代表这一维度的自身特征，故这里大、小意义就明显了。
- 大可以理解为该维度上尺子的单位刻度大，比如 9 9 9表示一个单位刻度
- 小可以理解为该维度上尺子的单位刻度小，比如 0.1 0.1 0.1表示一个单位刻度
(二) 医学上
如果把矩阵理解为中医祖传秘籍（乱不外传的），特征向量理解为秘方子（枸杞、百合、红花、童子尿…)，特征值就是对该方子的用药量，温、热、寒不同方子特征值不一样， 这样也说得通，如下图！
进一步，把西药制成品也类比为特征向量。比如新冠治疗中的瑞得西韦， 特征值就是该神药该服用多少？还有其它药方子，如莲花清瘟等，假设都能治疗新冠肺炎，但用量肯定是不一样的，即不同特征向量对应的特征值不一。
如此看来，特征值可理解为医学上药物用量的一个刻度，也是中西医互相密而不宣的沟通桥梁，正如下图的 λ 0 \lambda_{0} λ0
(三) 物理上
“遇事不决，量子力学” 戏谑的表明了量子力学的高深、难懂！
且看薛定谔方程的前半部分，就复杂得都让人头晕眼花…
物理学家把这种神操作统称为算子（因为给您解释不清楚~），是不是有点巫师作法、道士占卜的感觉？
不同的是那帮巫师(物理学家)，在圈内对不同公式符号都给出了互相认可的解释！
例如：量子力学把世界看成是波动的，如果一个波函数经过一个量子变换后，它仍是一同一个波函数乘一个常量(如上图C)。
…
再看矩阵，它不也就是一个算子吗？而且还是线性的，如此简单，so easy!
大巫师（物理学家）牛！
这样，特征值的意义又从矩阵的线性上升到非线性统一了。
还是大巫师（物理学家）牛~
总之，就是一段复杂的操作，统称为算子，特征值也叫算子的本征值，台湾人习惯这样称呼，同一个意思，英文词源其实来自德语(自身的)。
本来很好理解的概念，几经"转手"之后就晦涩难懂了…
遥想当年，若彼时能有这样的理解，就完美了！
想记这点感悟很久了，
若有缘遇上，能给您带来一点点共鸣，便是满足。
最后附上特征值的求法，以便大家回忆。
附：特征值求法
特征多项式
∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 11 − a 12 . . . − a 1 n − a 21 λ − a 22 . . . − a 2 n . . . . . . . . . . . . − a n 1 − a n 2 . . . λ − a n n ∣ = 0 |\lambda E-A|=\left | \begin{array}{c} \lambda-a_{11} & -a_{12} &...&-a_{1n}\\ -a_{21} & \lambda-a_{22} &...&-a_{2n}\\ ... & ... &...&...\\ -a_{n1} & -a_{n2} &...&\lambda-a_{nn}\\ \end{array}\right |=0 ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣λ−a11−a21...−an1−a12λ−a22...−an2............−a1n−a2n...λ−ann∣∣∣∣∣∣∣∣=0
它是数域 P P P上的一个 n n n次多项式，若是复数域，必有 n n n个根。每一个根都是矩阵 A A A的一个特征值
求特征值与特征向量方法步骤
- 求出特征多项式 ∣ λ E − A ∣ |\lambda E-A| ∣λE−A∣的全部根
- 把所求根代入方程组 [ λ E − A ] X = 0 [\lambda E -A]X=0 [λE−A]X=0中求出一组基础解系，就得到属于相应特征值的线性无关的特征向量
