数据库第六章——关系数据理论
重要结论：
1.在关系DB中，二元关系模式的最高范式为4NF。
2.关系模式 R 中的属性全部是主属性，则 R 的最高范式必定是（3NF ）
6.1 问题的提出
Ⅰ 关系模式看作一个三元组：R
- 关系名R是符号化的元组语义
- U为一组属性
- F为属性组U上的一组数据依赖
- 当且仅当U上的一个关系r满足F时，r称为关系模式R
- 作为二维表，关系要符合一个最基本的条件：每个分量必须是不可分开的数据项。满足了这个条件的关系模式就属于第一范式（1NF）
Ⅱ 属性间的联系：一对一联系、多对一联系、多对多联系
Ⅲ 数据依赖：是一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系，通过属性间值的相等与否体现出来的数据间相互联系
（1）数据依赖的主要类型
- 函数依赖
- 多值依赖
6.2 规范化
6.2.1 函数依赖
1.函数依赖
一、定义: 设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r 中不可能存在两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等， 则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作X→Y。
二、函数依赖与属性间的联系类型有关
(1) 一对一联系：X←→Y
(2) 多对一联系：X→Y
(3) 多对多联系：不存在依赖关系
(4) 可从属性间的联系类型来分析属性间的函数依赖
- 若X→Y，并且Y→X, 则记为X←→Y。
- 若Y不函数依赖于X, 则记为X
Y。
2.平凡函数依赖与非平凡函数依赖
①X→Y，但Y⊈X则称X→Y是非平凡的函数依赖。
②X→Y，但Y⊆X 则称X→Y是平凡的函数依赖。
例：在关系SC(Sno, Cno, Grade)中，
非平凡函数依赖： (Sno, Cno) → Grade
平凡函数依赖： (Sno, Cno) → Sno
(Sno, Cno) → Cno
3.完全函数依赖与部分函数依赖
①在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’, 都有 X’ Y, 则称Y对X完全函数依赖，记作X → Y。
②若X→Y，但x的真子集不决定y，则称Y对X部分函数依赖，记作X → Y
4.传递函数依赖
定义: 在R(U)中，如果X→Y(Y⊈X)，YX，Y→Z，Z⊈Y, 则称Z对X传递函数依赖(transitive functional dependency)。记为：X → Z。
注: 如果Y→X, 即X←→Y，则Z直接依赖于X，而不是传递函数依赖。
[例] 在关系Std(Sno, Sdept, Mname)中，有：Sno → Sdept，Sdept → Mname，Mname传递函数依赖于Sno
6.2.2 码
定义: 设K为R<U,F>中的属性或属性组合。若K → U，则K称为R的一个候选码(Candidate Key)。
- 如果U部分函数依赖于K，则K称为超码 （Surpkey）。候选码是最小的超码，即K的任意一个真子集都不是候选码。
- 若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码(Primary key)。
(1)主属性与非主属性
n包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性 （Prime attribute）
n不包含在任何码中的属性称为非主属性（Nonprime attribute）或非码属性（Non-key attribute）
(2)全码：整个属性组是码，称为全码（All-key）
(3) 外码：关系模式 R中属性或属性组X 并非 R的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码。
6.2.3 范式
- 各种范式之间存在联系：
- 某一关系模式R为第n范式，可简记为R∈nNF。
- 一个低一级范式的关系模式，通过模式分解（schema decomposition）可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化（normalization）。
6.2.4 2NF：不存在非主属性对码的部分函数依赖
6.2.5 3NF：在第二范式的基础上，不存在非主属性对码的传递函数依赖
例：2NF关系模式S-L(Sno, Sdept, Sloc)中
函数依赖：
Sno→Sdept
Sdept → Sno
Sdept→Sloc
可得：
，即S-L中存在非主属性对码的传递函数依赖，S-L
3NF
6.2.6 BCNF：在第三范式的基础上，不存在主属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖，即每一个决定属性集都包含候选码
[例6.8] 关系模式STJ(S,T,J)中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。每一教师只教一门课。每门课有若干教师，某一学生选定某门课，就对应一个固定的教师。
- 由语义可得到函数依赖：(S,J)→T；(S,T)→J；T→J
- 因为没有任何非主属性对码传递依赖或部分依赖， STJ ∈ 3NF。
- 因为T是决定因素，而T不包含码，所以STJ
6.2.7 多值依赖
定义： 设R(U)是属性集U上的一个关系模式。X,Y,Z是U的子集，并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对(x,z)值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关。
例： Teaching（C, T, B）
对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值。因此T多值依赖于C，即C→→T。
（一）平凡多值依赖和非平凡的多值依赖
若X→→Y，而Z＝Ф，即Z为空，则称X→→Y为平凡的多值依赖。否则称X→→Y为非平凡的多值依赖（即Z不为空集）。
（二）多值依赖的性质
（1）多值依赖具有对称性。即若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y
（2）多值依赖具有传递性。即若X→→Y，Y→→Z， 则 X→→Z -Y。
（3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。即若X→Y，则 X→→Y。
（4）若X→→Y，X→→Z，则X→→YZ。
（5）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。
（6）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z，X→→Z -Y。
（三）多值依赖与函数依赖的区别
（1）多值依赖的有效性与属性集的范围有关
若X→→Y在U上成立，则在W
上一定成立；反之则不然，即X→→Y在W上成立，在U上并不一定成立。
（2）若函数依赖X→Y在R (U)上成立，则对于任何Y‘
均有X→Y’ 成立。多值依赖X→→Y若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y’ 
有X→→Y’ 成立。
6.2.8 4NF
定义： 关系模式R<U,F>∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y ⊈ X），X都含有码，则R<U,F>∈4NF。
v不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖。
v允许的非平凡多值依赖实际上是函数依赖。
6.2.9 规范化小结
注意：不能说规范化程度越高的关系模式就越好。
6.3 数据依赖的公理系统
（1）定义6.11 对于满足一组函数依赖F的关系模式 R <U,F>，其任何一个关系r，若函数依赖X→Y都成立（即r中任意两元组t、s，若t[X]=s[X]，则 t[Y]=s[Y]），则称F逻辑蕴涵X →Y。
（2）Armstrong公理系统
设U为属性集总体，F是U上的一组函数依赖， 于是有关系模式R <U,F >。对R <U,F> 来说有以下的推理规则：
A1 自反律（reflexivity rule）：若Y 
X 
U，则X →Y 为F所蕴涵。
A2 增广律（augmentation rule）：若X→Y为F所蕴涵，且Z 
U，则XZ→YZ 为F所蕴涵。
A3 传递律（transitivity rule）：若X→Y及Y→Z为F所蕴涵，则X→Z 为F所蕴涵。
注意：由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖, 自反律的使用并不依赖于F。
※根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：
n 合并规则（union rule）：由X→Y，X→Z，有X→YZ。
n 伪传递规则（pseudo transitivity rule）： 由X→Y，WY→Z，有XW→Z。
n 分解规则（decomposition rule）： 由X→Y及ZY，有X→Z。
※根据合并规则和分解规则，可得引理6.1
引理6.1 X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件是X→Ai成立（i=1，2，…，k）。
（3）定义6.12 在关系模式R<U,F>中为F所逻辑蕴涵的函数依赖的全体叫作F的闭包，记为
。
（4）定义6.13 设F为属性集U上的一组函数依赖，X、YU， 
={ A|X→A能由F根据Armstrong公理导出}，称为属性集X关于函数依赖集F的闭包。
- 引理6.2 设F为属性集U上的一组函数依赖，X、Y U，X→Y能由F根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y。
- 引理6.2的用途：判定X→Y是否能由F根据Armstrong公理导出的问题，就转化为求出，判定Y是否为的子集的问题。
求闭包：
（5）定义6.14 如果
，就说函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖），或F与G等价。
注意：两个函数依赖集等价是指它们的闭包等价
- 引理6.3 的充分必要条件是
- 要判定
，只须逐一对F中的函数依赖X→Y，考察 Y 是否属于
就行了。 - 因此引理6.3 给出了判断两个函数依赖集等价的可行算法。
（6）定义6.15 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集，亦称为最小依赖集或最小覆盖。
（1）单属性化： F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。
（2）无冗余化： F中不存在这样的函数依赖X→A， 使得F与F-{X→A}等价。即F中的函数依赖均不能由F中其他函数依赖导出
（3）既约化： F中不存在这样的函数依赖X→A， X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。即F中各函数依赖左部均为最小属性集（不存在冗余属性）
- 无冗余化实例：
注意：F的最小依赖集Fm不一定是唯一的，它与对各函数依赖FDi 及X→A中X各属性的处置顺序有关。
- 既约化实例：
6.4 模式的分解
（1）三种模式分解等价的定义：
⒈ 分解具有无损连接性
⒉ 分解要保持函数依赖
⒊ 分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性
（2）关系模式R
（3）
v如果一个分解具有无损连接性，则它能够保证不丢失信息
v如果一个分解保持了函数依赖，则它可以减轻或解决各种异常情况
v分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定能够保持函数依赖；同样，保持函数依赖的分解也不一定具有无损连接性。
（4）分解算法
v算法6.2 判别一个分解的无损连接性
v算法6.3（合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分解。
v算法6.4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依赖的分解
v算法6.5 （分解法）转换为BCNF的无损连接分解
v算法6.6 达到4NF的具有无损连接性的分解
6.5 小结
- 若要求分解具有无损连接性，那么模式分解一定能够达到4NF。
- 若要求分解保持函数依赖，那么模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF。
- 若要求分解既具有无损连接性，又保持函数依赖，则模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF。