一天一大 leet(爬楼梯)难度:简单 DAY-13

20200613

题目(难度:简单):

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意

给定 n 是一个正整数。

示例

1. 示例 1

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

2. 示例 2

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

抛砖引玉

• 传入不同n之间输出规律
  

• 当n>2时就可以看到每增加一个数，就会出现最后一次到达这个数的来源就会有两个

// 3
1->3  2->3  => f(3)=f(1)+f(2)
// 4
2->4  3->4  => f(4)=f(2)+f(3)
// 5
3->5  4->5  => f(5)=f(3)+f(4)

• 总结逻辑就是f(n)=f(n-2)+f(n-1);
• 那么就可以只知道最开始的两个结果就可以推断后面所有的结果了

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    if (n < 2) return 1;
    if (n === 2) return 2;
    let map = new Map([[0, 1], [1, 1]]);
    for (let i = 2; i < n + 1; i++) {
        map.set(i, map.get(i - 2) + map.get(i - 1));
    }
    return map.get(n);
};

官方答案

1. 动态规划

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
  let p = 0, q = 0, r = 1;
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
      p = q; 
      q = r; 
      r = p + q;
  }
  return r;
};

2. 矩阵快速幂

构建这样一个递推关系：

$$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}\mathbf{f}(\mathbf{n})\\ \mathbf{f}(\mathbf{n}-1)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\mathbf{f}(\mathbf{n})+\mathbf{f}(\mathbf{n}-1)\\ \mathbf{f}(\mathbf{n})\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\mathbf{f}(\mathbf{n}+1)\\ \mathbf{f}(\mathbf{n})\end{array}\right|$$

因此：

$$\left|\begin{array}{c}\mathbf{f}(\mathbf{n}+1)\\ \mathbf{f}(\mathbf{n})\end{array}\right|={\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|}^n\left|\begin{array}{c}\mathbf{f}(1)\\ \mathbf{f}(0)\end{array}\right|$$

令：

$$M=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|$$

因此我们只要能快速计算矩阵 M 的 n 次幂，就可以得到 f(n) 的值。如果直接求取 $M^n$

时间复杂度是 O(n) 的，我们可以定义矩阵乘法，然后用快速幂算法来加速这里 $M^n$的求取

如何想到使用矩阵快速幂？

• 如果一个问题可与转化为求解一个矩阵的 n 次方的形式，那么可以用快速幂来加速计算
• 如果一个递归式形如 $f(n)={\sum }_{i=1}^m{a}_{i}f(n-i)$ 即齐次线性递推式，
  我们就可以把数列的递推关系转化为矩阵的递推关系，即构造出一个矩阵的 n 次方乘以一个列向量得到一个列向量， 这个列向量中包含我们要求的 f(n)。一般情况下，形如 $f(n)={\sum }_{i=1}^m{a}_{i}f(n-i)$ 可以构造出这样的 mxm 的矩阵：
  $$\left|\begin{array}{ccccc}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& {\mathbf{a}}_3& ...& {\mathbf{a}}_{\mathbf{m}}\\ 1& 0& 0& ...& 0\\ 0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& 1& ...& 1\end{array}\right|$$
• 那么遇到非齐次线性递推我们是不是就束手无策了呢？其实未必。有些时候我们可以把非齐次线性递推转化为其次线性递推，比如这样一个递推：
  $$f(x)=(2x-6)c+f(x-1)+f(x-2)+f(x-3)$$

我们可以做这样的变换：
$$f(x)+xc=[f(x-1)+(x-1)c]+[f(x-2)+(x-2)c]+[f(x-3)+(x-3)c]$$

令 $g(x)=f(x)+xc$，那么我们又得到了一个齐次线性递：

$$g(x)=g(x-1)+g(x-2)+g(x-3)$$

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
	var q = [[1, 1], [1, 0]];
	var res = pow(q, n);
	function pow(a, n) {
		var ret = [[1, 0], [0, 1]];
		while (n > 0) {
			if ((n & 1) == 1) {
				ret = multiply(ret, a);
			}
			n >>= 1;
			a = multiply(a, a);
		}
		return ret;
	}

	function multiply(a, b) {
		var c = [Array(2), Array(2)];
		for (var i = 0; i < 2; i++) {
			for (var j = 0; j < 2; j++) {
				c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
			}
		}
		return c;
	}
	return res[0][0];
};

3. 通项公式

根据递推方程$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$，我们可以写出这样的特征方程：
$$x^2=x+1$$
求得：$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}，x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，设通解为 ：$f(n)=c_1^n+c_2^n$ ，代入初始条件 f(1) = 1f，f(2) = 1，得：$c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}，c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}$，我们得到了这个递推数列的通项公式：

$$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1-\sqrt{5}}{y}{)}^n-(\frac{1+\sqrt{5}}{y}{)}^n]$$

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
	var sqrt5 = Math.sqrt(5);
	var fibn = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
	return parseInt(fibn / sqrt5);
};

高手在民间

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    var a = 1;
    var b = 1;
    while(n--){
        a = (b+=a) -a;
    }
    return a;
};

菜鸡的自白

港真矩阵快速幂和通项公式确实没看懂，数学不行真是不行呀

路漫漫其修远兮

博客: 小书童博客(http://gaowenju.com/)

公号: 坑人的小书童