克鲁斯卡尔算法（Kruskal）求最小生成树（MST)过程详解

基本思想

先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树（不构成回路），则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上（构成回路），则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。

基本步骤

1、新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边；
2、将原图中所有的边按权值从小到大排序；
3、从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中；
4、重复3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中。

关于步骤3的解释：选取的边要是剩下边权值最小的，且与G中的边不构成回路。

详细步骤图解

原图如下：

第一步：判断权值为1的连接边hg是否属于集合，由于开始集合为空，则将两个节点加入到集合，且连接该边，并判断是否属于回路；

第二步：判断权值为2的连接边ic是否属于集合，由于集合只有节点h和g，则将节点i和c加入到集合中，且连接该边，并判断是否属于回路；

第三步：判断权值为2的连接边gf是否属于集合，根据判断规则，把f加入到集合，且连接该边；

第四步：根据判断规则，将节点a和b加入到集合，且连接该边；

第五步：根据判断规则，连接该边cf；

第六步：根据判断规则，连接节点i和g时形成回路，则放弃，继续下次判断；

第七步：判断权值为7的连接边；根据判断规则，节点i和h形成回路，则放弃，将节点d加入到集合，并连接该边；

第八步：判断权值为8的连接边；根据判断规则，连接节点a和h；

第九步：判断权值为9的连接边；将节点e加入到集合，并连接该边；此时集合已经包含所有节点，则终止循环；

总结

1、克鲁斯卡尔算法需要对图的边进行访问，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度只和边有关系，可以证明其时间复杂度为O（eloge）；

2、克鲁斯卡尔算法和普利姆算法一样，都是贪心算法，不同的是克鲁斯卡尔算法是从森林到树，而普利姆一直保持着一个树。

3、克鲁斯卡尔算法适合边少的，也即稀疏图。

参考文章：
【1】算法——最小生成树：Kruskal算法、Prim算法
【2】克鲁斯卡尔算法