数据结构 数组和广义表

1 数组的定义

n维数组中含有${\prod }_{i=1}^n{b}_i$个数据元素，每个数据元素都受着n个关系的约束

在每个关系中，元素$a_{j_1{j}_2\cdots j_n}(0\le j_i\le b_i-2)$都有一个直接后继元素。

因此，就其单个关系而言，这n个关系仍是线性关系。

• 与线性表一样，所有数据元素都必须属于同一数据类型。

• 数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。因此，除了结构的初始化和销毁之外，数组只有存取元素和修改元素值的操作。

2 数组的顺序表示和实现

由于数组一般不做插入或删除操作，

因此，我们采用顺序存储结构表示数组。

2.1 二维数组

二维数组可以以列序为主序，也可以以行序为主序。

以行序为主序

$$LOC(i,j)=LOC(0,0)+(b_2\times i+j)L$$

其中，$LOC(i,j)$是$a_{ij}$的存储位置

$LOC(0,0)$是$a00$的存储位置，即二维数组$A$的起始存储位置，也称为基地址或基址。

$b_2$在以行序为主序的存储结构时为每行存储元素的个数(列数)

2.2 n维数组

2.3 随机存储结构

由于计算各个元素存储位置的时间相等，所以存取数组中任一元素的时间也相等。

我们称具有这一特点的存储结构为随机存储结构。

3 矩阵的压缩存储

在数值分析中经常出现一些阶数很高的矩阵，同时在矩阵中有许多值相同的元素或者是零元素。

有时为了节省存储空间，可对这类矩阵进行压缩存储。

所谓压缩存储是指：为多个值相同的元只分配一个存储空间；对零元不分配空间

3.1 特殊矩阵

值相同的元素或者零元素在矩阵中的分布具有一定规律

3.1.1 对称矩阵

矩阵中的元满足

$$a_{ij}=a_{ji},1\le i,j\le n$$

我们可以存储其下三角（包括对角线）中的元。

3.1.2 对角矩阵

所有的非零元都集中在以主对角线为中心的带状区域中。

我们对其可以按照某种原则（或以行为主，或以对角线的顺序）将其压缩存储到一维数组上。

3.2 稀疏矩阵

值相同的元素或者零元素在矩阵中的分布不具有一定规律

3.2.1 稀疏因子

假设在$m\times n$的矩阵中，有$t$个元素不为零。

令$\delta =\frac{t}{m\times n}$，称$\delta$为矩阵的稀疏因子

通常认为$\delta \le 0.05(5\%)$时称为稀疏矩阵

3.2.2 三元组顺序表

3.2.3 行逻辑链接的顺序表

3.2.4 十字链表

当矩阵的非零元个数和位置在操作过程中变化较大时，就不宜采用顺序存储结构来表示三元组的线性表。

为此对这种类型的矩阵，采用链式存储结构表示三元组的线性表更为恰当。

4 广义表的定义

顾名思义，广义表是线性表的推广。

4.1 形式表示

广义表一般记作

$$LS=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$$

其中$LS$是广义表$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$的名称，$n$是它的长度

4.2 原子和子表

在线性表的定义中，$a_i(1\le i\le n)$只限于是单个元素。

而在广义表的定义中，$a_i$可以是单个元素，也可以是广义表，分别称为广义表$LS$的原子和子表

习惯上，用大写字母表示广义表的名称，用小写字母表示原子。

4.3 表头与表尾

当广义表非空时，称第一个元素$a_1$为$LS$的表头(Head)，称其余元素组成的表$(a_2,a_3,\cdots ,a_n)$是$LS$的表尾(Tail)

4.4 递归定义

描述广义表时有用到了广义表的概念

4.5 广义表特点

• 列表的元素可以是子表，而子表的元素还可以是子表

• 列表可为其他列表所共享

• 列表可以是一个递归的表，即列表也可以是其本身的一个子表

• 任何一个非空列表其表头可能是原子，也可能是列表，而其表尾必定为列表

5 广义表的存储结构

由于广义表中的数据元素可以具有不同的结构，因此通常采用链式存储结构，每个数据元素可用一个结点表示。

5.1 表结点

由标志域、指示表头的指针域和指示表尾的指针域组成

5.2 原子结点

由标志域和值域构成

6 m元多项式的表示

7 广义表的递归算法

7.1 求广义表的深度

7.2 复制广义表

7.3 建立广义表的存储结构