传输线理论
1传输线方程及其解
分布参数
Z0 = R0+jωL0
Y0 = G0+jωC0
根据导线上的分布参数及其等效电路可得到电报方程
该方程组的解为
U(z,t) = (U1⋅exp(-αz)⋅e(-jβz) + U2⋅exp(αz)⋅exp(jβz))⋅exp(jωt)
I(z,t) = 1/Zc⋅(U1⋅exp(-αz)⋅e(-jβz) - U2⋅exp(αz)⋅exp(jβz))⋅exp(jωt)
其中α + jβ = ϒ；且ϒ = sqrt(Z0⋅Y0)，α为每单位长度的衰减常数，β为每单位长度的相移常数。
上式可得传输线上的电压电流由两部分。即可表示为入射波和反射波（U+、U-）。
2驻波相关
2.1 行波。
令入射电压（电流）U+（I+）或反射电压（电流）U-（I-）的相位为一常数ωt±βz = K；对其时间求导得
ω±β(dz/dt) = 0
即
dz/dt = -± ω/β （1）
上式表明，为了保持U+或U-的相位不变，则它们必须以± ω/β的速度沿±z轴的方向移动；故称之为“行波”。
若传输线为无损耗的均匀线。则R0 = G0 = 0；可得行波的相位常数为
β = ω sqrt(L0⋅C0) = 2π/λ
将其代入（1）式得行波等相位点沿传播方向移动的速度vp为
vp = dt/dz = ω/β = 1/sqrt(L0⋅C0)
即传输线上的电压或电流波在传输线所在的媒质中以光速传播。
对于无限长或者终端接匹配负载时，因为不存在反射波，所以线上只有一个入射波。
2.2 驻波
两个方向相反的行波叠加将形成驻波。对于传输线上的电压波其瞬时值可写成
u(z,t) = |U+|cos(ωt-βz)+|U-|cos(ωt+βz)
u(z,t) = (|U+| + |U-|)cosωt⋅cosβz + (|U+| - |U-|)sinωt⋅sinβz
观察上式可发现：
- 对于某一固定的t；沿线的电压U将有最大值（cosβt=1）和最小值（cosβz=0），分别称之为波峰和波谷，或波腹和波节。|U|max = |U+| + |U-|；|U|min = |U+| - |U-|。
- 沿线波峰和波谷的位置不随时间的变化而移动，好像驻立一样，故称之为驻波。
- 相邻波峰与波谷的距离对应于βz=π/2，即z=λ/4。
2.3 驻波比与反射系数
驻波比 ρ ≡ 电压或电流波的最大值/电压或电流波的最小值
反射系数 Γ ≡ 反射波电压或电流/入射波电压或电流
ρ=1时，只有入射波，这是全匹配情况；ρ→∞时，反射波与入射波幅值相等，这是全反射情况。
2.4 输入阻抗
传输线上任意一点向负载方向看过去的阻抗Zin定义为该店的电压和电流之比，即
Zin(z) ≡ U(z)/I(z)
3 不同负载时传输线的工作状态
3.1 匹配
当负载阻抗等于传输线阻抗，即Zl=Zc时，传输线就处于匹配状态。
- 只有入射波
- 入射波能量全部被负载吸收，故传输效率最高
- 沿线任意点输入阻抗等于线的特征阻抗
- 沿线电压电流的相位以exp(j(ωt-βz))的功率变化，即随z的增加而连续滞后
3.2 短路线
当Zl=0时，称为终端短路线，简称短路线。Zin = U/I = jZctan(βl)，纯驻波分布。
- 短路点及离短路点λ/2整数倍处，电压总为0；即电压驻波波节；而在距离短路点λ/4奇数倍处，电流总为0，即为电流驻波波节。
- 电压电流相位相差π/2，故电压最大时，电流最小；故传输线上没有能量传播。
3.3 开路线
Zin = U/I = -jZccot(βl)
3.4 纯阻性负载
纯阻性负载即为Zl=Rl+j0=NRc，并设传输线特征阻抗为Zc=Rc=sqr(L0/C0)。
- 当Rl>Rc时，负载处为电压波腹和电流波节点。驻波比ρ=Rl/Rc
- 当Rl
- 无论Rl与Rc大小如何，线上U最大处I必然最小；U的最大值与最小值；且Umax/Imax=Umin/Imin=Rc
- 在驻波波腹和波节处，U和I同相，故该处Rin为纯阻性。在电压波腹处，Rin=ρRc，在电压波节处，Rin=Rc/ρ
3.4 阻抗负载传输线
Γ = (Zl-Zc)/(Zl+Zc) ρ = (1+|Γ|)/(1-|Γ|)
| 线上的点 | 该点向右看的阻抗 |
|---|---|
| Umax(Imin) | Zin=ρRc |
| Umin(Imax) | Zin=Rc/ρ |
| U曲线斜率为正（I曲线斜率为负） | Zin含有容抗 |
| U曲线斜率为负（I曲线斜率为正） | Zin含有感抗 |
| 离Umax较近 | |Zin|>Rc |
| 离Umin较近 | |Zin| |
| 在Umax和Umin中间 | |Zin|=Rc |
4 有耗传输线
ϒ = sqrt(Z0⋅Y0)=sqrt((R0+jωL0)(G0+jωC0)) = α+jβ
简化上式得
α = R0/2sqrt(C0/L0)+G0/2sqrt(L0/C0) = αc+αd
β ≈ ωsqrt(L0⋅C0)
Zc ≈ sqrt(L0/C0)(1-jα/β)