传输线理论

1传输线方程及其解

分布参数

Z0 = R0+jωL0

Y0 = G0+jωC0

根据导线上的分布参数及其等效电路可得到电报方程

该方程组的解为

U(z,t) = (U1⋅exp(-αz)⋅e(-jβz) + U2⋅exp(αz)⋅exp(jβz))⋅exp(jωt)

I(z,t) = 1/Zc⋅(U1⋅exp(-αz)⋅e(-jβz) - U2⋅exp(αz)⋅exp(jβz))⋅exp(jωt)

其中α + jβ = ϒ；且ϒ = sqrt(Z0⋅Y0)，α为每单位长度的衰减常数，β为每单位长度的相移常数。

上式可得传输线上的电压电流由两部分。即可表示为入射波和反射波（U+、U-）。

2驻波相关

2.1 行波。

令入射电压（电流）U+（I+）或反射电压（电流）U-（I-）的相位为一常数ωt±βz = K；对其时间求导得

ω±β(dz/dt) = 0

即

dz/dt = -± ω/β （1）

上式表明，为了保持U+或U-的相位不变，则它们必须以± ω/β的速度沿±z轴的方向移动；故称之为“行波”。

若传输线为无损耗的均匀线。则R0 = G0 = 0；可得行波的相位常数为

β = ω sqrt(L0⋅C0) = 2π/λ

将其代入（1）式得行波等相位点沿传播方向移动的速度vp为

vp = dt/dz = ω/β = 1/sqrt(L0⋅C0)

即传输线上的电压或电流波在传输线所在的媒质中以光速传播。

对于无限长或者终端接匹配负载时，因为不存在反射波，所以线上只有一个入射波。

2.2 驻波

两个方向相反的行波叠加将形成驻波。对于传输线上的电压波其瞬时值可写成

u(z,t) = |U+|cos(ωt-βz)+|U-|cos(ωt+βz)

u(z,t) = (|U+| + |U-|)cosωt⋅cosβz + (|U+| - |U-|)sinωt⋅sinβz

观察上式可发现：

1. 对于某一固定的t；沿线的电压U将有最大值（cosβt=1）和最小值（cosβz=0），分别称之为波峰和波谷，或波腹和波节。|U|max = |U+| + |U-|；|U|min = |U+| - |U-|。
2. 沿线波峰和波谷的位置不随时间的变化而移动，好像驻立一样，故称之为驻波。
3. 相邻波峰与波谷的距离对应于βz=π/2，即z=λ/4。

2.3 驻波比与反射系数

驻波比 ρ ≡ 电压或电流波的最大值/电压或电流波的最小值

反射系数 Γ ≡ 反射波电压或电流/入射波电压或电流

ρ=1时，只有入射波，这是全匹配情况；ρ→∞时，反射波与入射波幅值相等，这是全反射情况。

2.4 输入阻抗

传输线上任意一点向负载方向看过去的阻抗Zin定义为该店的电压和电流之比，即

Zin(z) ≡ U(z)/I(z)

3 不同负载时传输线的工作状态

3.1 匹配

当负载阻抗等于传输线阻抗，即Zl=Zc时，传输线就处于匹配状态。

1. 只有入射波
2. 入射波能量全部被负载吸收，故传输效率最高
3. 沿线任意点输入阻抗等于线的特征阻抗
4. 沿线电压电流的相位以exp(j(ωt-βz))的功率变化，即随z的增加而连续滞后

3.2 短路线

当Zl=0时，称为终端短路线，简称短路线。Zin = U/I = jZctan(βl)，纯驻波分布。

1. 短路点及离短路点λ/2整数倍处，电压总为0；即电压驻波波节；而在距离短路点λ/4奇数倍处，电流总为0，即为电流驻波波节。
2. 电压电流相位相差π/2，故电压最大时，电流最小；故传输线上没有能量传播。

3.3 开路线

Zin = U/I = -jZccot(βl)

3.4 纯阻性负载

纯阻性负载即为Zl=Rl+j0=NRc，并设传输线特征阻抗为Zc=Rc=sqr(L0/C0)。

1. 当Rl>Rc时，负载处为电压波腹和电流波节点。驻波比ρ=Rl/Rc
2. 当Rl
3. 无论Rl与Rc大小如何，线上U最大处I必然最小；U的最大值与最小值；且Umax/Imax=Umin/Imin=Rc
4. 在驻波波腹和波节处，U和I同相，故该处Rin为纯阻性。在电压波腹处，Rin=ρRc，在电压波节处，Rin=Rc/ρ

3.4 阻抗负载传输线

Γ = (Zl-Zc)/(Zl+Zc) ρ = (1+|Γ|)/(1-|Γ|)

驻波曲线上一些点的特性

线上的点	该点向右看的阻抗
Umax(Imin)	Zin=ρRc
Umin(Imax)	Zin=Rc/ρ
U曲线斜率为正（I曲线斜率为负）	Zin含有容抗
U曲线斜率为负（I曲线斜率为正）	Zin含有感抗
离Umax较近	|Zin|>Rc
离Umin较近	|Zin|
在Umax和Umin中间	|Zin|=Rc

4 有耗传输线

ϒ = sqrt(Z0⋅Y0)=sqrt((R0+jωL0)(G0+jωC0)) = α+jβ

简化上式得

α = R0/2sqrt(C0/L0)+G0/2sqrt(L0/C0) = αc+αd

β ≈ ωsqrt(L0⋅C0)

Zc ≈ sqrt(L0/C0)(1-jα/β)