线性空间与内积空间、希尔伯特空间

线性空间&&向量空间

        n n 维实向量全体构成的集合，同时考虑向量的线性运算，成为实 n n 维向量空间，用 Rn R n 表示，显然 Rn R n 中任意两个向量的 和向量 还是 Rn R n 中的向量， Rn R n 中任意一个向量与一个实数的乘积也是 Rn R n 中的向量

线性空间的维数

       如果在线性空间 V V 中有 n n 个线性无关的向量 α1,α2,α3,...αn, α 1 , α 2 , α 3 , . . . α n , ，并且 V V 中任一向量都可由 α1,α2,α3,...αn α 1 , α 2 , α 3 , . . . α n 线性表示，则 dim(V)=n d i m ( V ) = n

内积运算

       在一般的线性空间中定义内积运算，导出内积空间的概念，引入长度、角度等度量概念。

希尔伯特空间

       希尔伯特空间即是完备的内积空间，首先说明一下完备性。完备空间或者完备度量空间是指空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。柯西序列中的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切的说，在去掉优先个元素后，可以使得余下的元素中的任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正常数。