第1课 进制转换

学习目标

1、理解二进制计数原理。
2、掌握不同进制数之间的转换原理和实现方法。
3、学会使用进制转换的原理解决一些实际问题。

知识讲解

实际生活中，人们使用十进制计数。但是，任何信息在计算机中都是采用二进制编码表示的，有时还会用到十六进制。
十进制计数原理采用“0” ~ “9”十个符号，运算规则为“逢十进一”，基数是十。
二进制计数原理采用“0” 和“1”两个符号，运算规则是“逢二进一”，基数是二。
显然，十进制中的数“10”和二进制中的“10”、十六进制中的“10”是不一样的。为了区分，我们分别表示成（10）10、（10）2、（10）16。有时也会在一个数的后面加上英文字母D、B、H来分别表示该数是十进制数、二进制数或者十六进制数，如96D、110B、2B3FH等。

进制转换的基本原理

不同进制数之间转换的基本原理就是依据其“运算规则”和“权”的含义进行乘除运算。
(1) 二进制数转换成十进制数
一个二进制数转换成十进制数的方法是将其表示成“按权展开式”，再按十进制运算规则求和。这种方法可以扩展到任意 n 进制。
(2) 二进制数与十六进制数之间的相互转换
二进制数转换成十六进制数的方法是以小数点为准，往前、往后“四位一段”分别转换成十六进制数再求和，不满四位要补齐。
(3) 十进制数转换成二进制
十进制数转换成二进制要将整数和小数分开转换，最后再求和。整数的转换方法是：不断除以 2 求余数，最后反序输出；小数的转换方法是：不断乘以 2，将每次得到的整数部分依次输出，并且每次都将整数部分恢复为 0。

进制转换的应用举例

例1 进制转换

【问题描述】
将任意一个 n 进制整数 x 转换成十进制。
【输入格式】
第 1 行 1 个正整数 n，1 第 2 行 1 个整数 x。
【输出格式】
一行一个数，表示转换得到的十进制数，保证答案不超过 2147483647。
【输入样例】
2
100110
【输出样例】
38
【问题分析】
读入 n 和 x，根据 n 和 x 的位数，分别求出 x 的每一位对应的“权值”，然后穷举每一位，将它乘以该位对应的权值，累加便可得到结果。
更高效、更简洁的算法是采用“秦九韶公式”。对于样例输入，可以这样计算：
(((((1*2)＋0)*2+0)*2+1)*2+1)*2+0=38。具体实现采用“迭代法”，用一个变量不断乘以n，再加上下一位x[i]。

#include
using namespace std;
int main(){
    freopen(” change.in ” , ” r ” ,stdin);
    freopen( ” change.out ” , ” w ” ,stdout);
    int n,ans = 0,i = 0;
    char s[32];
    scanf( ” %d\n ” ,&n);
    while((s[i] = getchar()) != '\n'){  
          ans = ans * n + (s[i] - 48);  
          i++;
    } 
    printf( ” %d\n ” ,ans);
    return 0;
}

如果10

例2 汽车牌照

【问题描述】
小 Y 最近发现街上的汽车越来越多了，作为汽车的重要标志——汽车牌照也是越来越不够用了，已经从以前的十进制发展到三十六进制了，以前的一个汽车牌照“苏 D88888”，现在的牌照“苏 D0YY11”。
小 Y 突发其想，想知道他看到的大量汽车牌照中最近的两个汽车牌照相差多少？
【输入格式】
若干行(不超过 500000 行)，每行为一个汽车牌照。
每个汽车牌照为一个 7 位的字符串，格式为 SD×××××，其中一个 × 表示一个 0~9 或A~Z，所涉及的字母均为大写。
【输出格式】
一行一个数，表示最接近的两个汽车牌照之间的差值，要求为十进制数。
【输入样例】
SD12345
SD88888
SD22222
SD99999
【输出样例】
1678245
【问题分析】
可以将所有汽车牌照（三十六进制数）转换成使十进制数，然后进行排序，再依次计算相邻两个数的差值，打擂台保留最小值。

例3 数列（蓝桥杯）

【问题描述】
给定一个正整数 k，把所有 k 的方幂及所有有限个互不相等的 k 的方幂之和构成一个递增的序列。例如，当 k=3 时，这个序列是：1，3，4，9，10，12，13，…
请求出这个序列的第 n 项的值(用十进制数表示)。
【输入格式】
一行两个正整数 k 和 n，之间用一个空格隔开，且 3≤k≤15，10≤n≤1000。
【输出格式】
一行一个正整数。
【输入样例】
3 100
【输出样例】
981
【问题分析】
该系列实际上就是：k⁰，k¹，k⁰+k¹，k²，k⁰+k²，k¹+k²，k⁰+k¹+k²，… 所以，只要将n转换成二进制数a[i]，然后求出所有a[i]不等于0的对应项kⁱ之和。

#include
using namespace std;
int a[10000];
int main(){
	int k,n,i;
	cin>>k>>n;
	i=0;
	do{
		a[++i]=n%2;
		n/=2;
	}while(n!=0);
	int x=1;
	int ans=a[1];
	for(int j=2;j<=i;j++){
		x*=k;
		ans+=a[j]*x;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}
	

实例巩固

1.乘法口诀表

输入一个自然数N(2<=N<=16)，输出N进制乘法口诀表，请严格按照以格式输出：
大写字母、右对齐，除了最左列外，每个数据项占4列。以下是N=16时的结果：
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 0
1 0 1
2 0 2 4
3 0 3 6 9
4 0 4 8 C 10
5 0 5 A F 14 19
6 0 6 C 12 18 1E 24
7 0 7 E 15 1C 23 2A 31
8 0 8 10 18 20 28 30 38 40
9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51
A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64
B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79
C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90
D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9
E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4
F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1

2.完全平方回文数

【问题描述】
给定一个十进制自然数的范围和进制的范围，十进制自然数范围在1_{44700之间，是m*m形成的平方数，进制的范围在2}36之间。给定范围里的数中，有些数的平方，在某进制下既是完全平方数，又是回文数。本题的任务是统计给定范围内有多少个数的平方满足下列条件；仅在某一进制下既是完全平方数又是回文数。
说明：3^{2=9，因为它在十进制和十一进制中都是回文数，所以9不能算；同样，26}2=676也不算。
【输入格式】
一行四个整数，分别表示给定的十进制自然数m的范围和进制的范围。
【输出格式】
一行一个正整数，青示给定范围内满足条件的数的个数。
【输入样例】
1 100 9 11
【输出样例】
12
【样例说明】
6^2=36=33 base 11
10^2=100=121 base 9
11^2=121=121 base 10
12^2=144=121 base 11
20^2=400=484 base 9
22^2=484=484 base 10
24^2=576=484 base 11
72^2=5184=3993 base 11
82^2=6724=10201 base 9
84^2=7056=5335 base 11
91^2=8281=12321 base 9
100^2=10000=1464 base 9

3.罗马数字

【问题描述】
罗马数字包含以下七种字符： I， V， X， L，C，D 和 M。
字符 数值
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
例如， 罗马数字 2 写做 II ，即为两个并列的 1。12 写做 XII ，即为 X + II 。 27 写做 XXVII, 即为 XX + V + II 。
通常情况下，罗马数字中小的数字在大的数字的右边。但也存在特例，例如 4 不写做 IIII，而是 IV。数字 1 在数字 5 的左边，所表示的数等于大数 5 减小数 1 得到的数值 4 。同样地，数字 9 表示为 IX。这个特殊的规则只适用于以下六种情况：
I 可以放在 V (5) 和 X (10) 的左边，来表示 4 和 9。
X 可以放在 L (50) 和 C (100) 的左边，来表示 40 和 90。
C 可以放在 D (500) 和 M (1000) 的左边，来表示 400 和 900。
给定一个整数，将其转为罗马数字。输入确保在 1 到 3999 的范围内。
【输入样例1】
3
【输出样例1】
III
【输入样例2】
9
【输出样例2】
IX
【输入样例3】
994
【输出样例3】
MCMXCIV

4.八进制小数

时光机