巴塞尔问题

在所有学科当中，很少有像数学这样，抽象度如此高，通用性如此广泛地学科。

牛顿写过《自然哲学的数学原理》，赫尔曼·外尔写过《数学与自然科学之哲学》，似乎数学轻易地就能跟哲学扯上联系。

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下面讨论一个数学问题，由 Pietro Mengoli 于1644年首次提出，问题是：

∑1n2=1+122+132+142+…=? ∑ 1 n 2 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + … = ?

Leonhard Euler 于1734年首次给出解答，答案为:

∑1n2=1+122+133+142+…=π26 ∑ 1 n 2 = 1 + 1 2 2 + 1 3 3 + 1 4 2 + … = π 2 6

为纪念欧拉的努力，遂以欧拉家乡巴塞尔命名，即 巴塞尔问题。

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这里粗略讨论一种跟欧拉不同的解法。更容易理解 : )

step 1：假设有一个周长为2的圆，两端点间的距离 d=2π d = 2 π ，也即圆的直径。

step 2：根据毕达哥拉斯定理，d满足：

1d2=1d21+1d22=π24 1 d 2 = 1 d 1 2 + 1 d 2 2 = π 2 4

step 3：然后继续画圆，因为：

1d21=1d23+1d24 1 d 1 2 = 1 d 3 2 + 1 d 4 2

1d22=1d25+1d26 1 d 2 2 = 1 d 5 2 + 1 d 6 2

所以有：

1d2=1d23+1d24+1d25+1d26=π24 1 d 2 = 1 d 3 2 + 1 d 4 2 + 1 d 5 2 + 1 d 6 2 = π 2 4

step 4: 当以上过程重复无限多次，圆无限大时，就有:

…+1−52+1−32+(−1)2+12+132+152+…=π24 … + 1 − 5 2 + 1 − 3 2 + ( − 1 ) 2 + 1 2 + 1 3 2 + 1 5 2 + … = π 2 4

可得，

12+132+152+…=π28 1 2 + 1 3 2 + 1 5 2 + … = π 2 8

因为偶数项占 14 1 4 ，所以奇数项占 34 3 4 ，即：

34∑1n2=π28 3 4 ∑ 1 n 2 = π 2 8

∑1n2=π28⋅43=π26 ∑ 1 n 2 = π 2 8 ⋅ 4 3 = π 2 6

完