【杜教筛模板】洛谷P4213

P4213
Attention
本题极度卡常，不需要long long的情况下尽量使用int，mu函数不需要使用long long。

杜教筛用于求积性函数前缀和。

例如：求 ${\sum }_{i=1}^{n}mu[i]$ 或者 ${\sum }_{i=1}^{n}phi[i]$

杜教筛公式：求$S(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$

取$g(i)$ 为一个积性函数，常见可用积性函数有：
$\varphi (n)$ (欧拉函数，不大于n且与n互质的数的个数)
$\mu (n)$ (莫比乌斯函数)
$d(n)$ (约数个数，$d(n)={\sum }_{i|n}1$)
$\sigma (n)$ (约数和函数，$\sigma (n)={\sum }_{i|n}i$)

一些完全积性函数，在使用的时候更方便简单：
$e(n)=[n==1]$
$I(n)=1$
$id(n)=n$
然后杜教筛就要来啦！

对于两个积性函数$f$，$g$，有
${\sum }_{i=1}^n(f\ast g)(i)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{xy=i}f(x)g(y)={\sum }_{y=1}^{n}g(y){\sum }_{xy<=n}f(x)={\sum }_{y=1}^{n}g(y)S(\lfloor \frac{n}{y}\rfloor )$

将上式变形之后可以发现：
$g(1)S(n)={\sum }_{i=1}^n(f\ast g)(i)-{\sum }_{y=2}^{n}g(y)S(\lfloor \frac{n}{y}\rfloor )$

至于是怎么变形的大家应该看得懂的。
如果我们可以用一个g把${\sum }_{i=1}^n(f\ast g)(i)$给搞出来，那么我们就可以算出来S(n)了。
使用数论分块还可以把上式后面的复杂度给降到O($\sqrt{n}$)

现在我们已经对杜教筛有一个基本的了解了。
然后看一下模板题怎么做。
题目要求${\sum }_{i=1}^n\varphi (i)$ 和 ${\sum }_{i=1}^n\mu (i)$

取$g(i)=I$，那么$\varphi (i)\ast I=id(i)$，$\mu (i)\ast I=ϵ$
其中$ϵ$的前缀和为1，$id(i)$的前缀和为 n*(n+1)/2
且${\sum }_{i=a}^{b}g(i)=(b-(a-1))$

首先用线性筛预处理出大概5e6的mu和phi的前缀和，不够的用杜教筛慢慢算就好了。

详细的看代码吧：

/*
杜教筛模板 
求phi(i)和mu(i)的前缀和
有 E = [n=1], I(n) = 1, id(n) = n
由于mu * I = E 
令f = mu, g = I, (f*g) = E
故 g(1)*Smu(n) = sigma(E) - sigma(g(i)*S(n/i)) (2<=i<=n)
令f = phi, g = I, (f*g) = id 
故 g(1)*Sphi(n) = sigma(id(i)) [(1<=i<=n)] - sigma(g(i)*S(n/i)) (2<=i<=n)
复杂度 O(2e9能过) 
*/ 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5e6+7;
int mu[maxn],pri[maxn];
bool npri[maxn];
ll phi[maxn];
unordered_map<int,int> summu;
unordered_map<int,ll> sumphi;
inline void init()
{
	npri[0] = npri[1] = 1;
	mu[1] = phi[1] = 1;
	for(int i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(!npri[i]) pri[++pri[0]] = i,mu[i] = -1,phi[i] = i-1;
		for(int j=1;j<=pri[0] && i*pri[j]<maxn;j++)
		{
			npri[i*pri[j]] = 1;
			if(i%pri[j])
			{
				mu[i*pri[j]] = -mu[i];
				phi[i*pri[j]] = phi[i]*phi[pri[j]];
			}
			else
			{
				mu[i*pri[j]] = 0;
				phi[i*pri[j]] = phi[i]*pri[j];
				break;
			}
		} 
	}
	for(int i=1;i<maxn;i++) mu[i] += mu[i-1],phi[i] += phi[i-1];
}
inline int gsum(int x) // g(i)的前缀和 
{
	return x;
}
inline int getsmu(int x)
{
	if(x<maxn) return mu[x];
	if(summu[x]) return summu[x];
	int ans = 1;
	for(int l=2,r;l<=x;l=r+1)
	{
		r = x/(x/l);
		ans -= (gsum(r)-gsum(l-1))*getsmu(x/l);
	}
	return summu[x] = ans/gsum(1);
}
inline ll getsphi(int x)
{
	if(x<maxn) return phi[x];
	if(sumphi[x]) return sumphi[x];
	ll ans = 1LL*x*(x+1)/2;
	for(int l=2,r;l<=x;l=r+1)
	{
		r = x/(x/l);
		ans -= (gsum(r)-gsum(l-1))*getsphi(x/l);
	}
	return sumphi[x] = ans/gsum(1);
}
int main()
{
	init();
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int n;
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld %d\n",getsphi(n),getsmu(n));
	}
	return 0;
}