教会四年级小学生解五元一次方程组——小学数学教育系列之三

在一次回家与同学聚会之后，萌生了教润润学习方程式的念头，彼时他正读小学四年级。方程式是代数领域的入门，函数则是代数领域的基础（函数是自变量和因变量的关系）。方程式也是数学学习过程中对抽象思维的初次接触，这样的接触让小学生跳离具体的数字计算，开始跨入抽象思维领域。

一个完整的方程式学习包括两个部分，首先是列出方程式，这意味着如何理解题目的含义，并把普通语言转化为数学语言，这涉及到设立未知数，寻找并表达等式关系，找到足够多的等式关系三个步骤，其次是解方程式。解方程式主要在于理解并熟练运用运算律，这个部分是通过反复练习达成的。

学习过程的这两个部分前者的关键从具体思维到抽象思维的转变，后者是一个熟悉法则并不断练习的过程。同时这两个过程也是不可分割的，列出方程式却不能解出答案，在无法确定答案的正确与否的前提下，学生将无法确定自己的思维成果是否正确， 这大大降低学生学习的成就感。如果只会解方程而不懂得列方程式，无法把文字语言转化为数学语言，则给学生学无以致用的挫败感。可这两部分又不能用同样的方法传授，后者能通过不断练习从而熟能生巧，而前者必须在思维上有抽象思维的突破，这对四年级小学生是个思维方式的重大升级。

一个好的学习过程必须同时兼顾以上两方面，既有助于完成从具体到抽象思维的升级，也能通过规则解答出答案。我从四则运算开始润润的方程式学习之旅，这受到了蒂莫斯在《牛津通识读本：数学》一书的启发。从一开始用具体的数字演练四则运算法则，也涉及到了乘方和幂运算，然后通过四则运算法则推导出分数，负数以及无理数和虚数。接下来就是利用字母（涉及到一点点集合知识）从抽象的角度重新演练四则运算法则，整个期间包括题目的练习和趣味练习。完成了对四则运算的理解就可以初步练习解简单的方程式，由于有了前面的基础，这个阶段异常的顺利，1~2天就上手了。

接下来就是学会用抽象的数学语言来表述题目，也就是列方程式阶段。即使有了上面的铺垫，一开始还是让小朋友茫然无措，他对于用一个抽象的字母比如 x 来代替一个事实，完全无法理解。在遇到前期的麻烦后，我开始尝试用过渡的抽象型来替代最终的完全抽象型。比如说小明的年龄，如果用 x 代表小明的年龄，x 与这个事实完全没有任何联系，小朋友要从他已有的知识结构中找到材料转化 x 为小明年龄，这个思维过程几乎很难完成，所以我开始用中文字符替代 x ，比如“小明的年龄”（恰巧在计算机语言中字符串既可以是常量也可以是变量）。用上了中文，小朋友的理解就完全被激发了，在熟练用中文几天后，就开始用有意义的字母，比如“小明的年龄”可以表述为“AM”（Age of Ming），在这个过程之后，小朋友顺利地接受了 x 的最终替换，经过一些练习，他完全可以自如地用任何字母表达变量，也能自如地用数学语言表述题目。

在整个学习过程中，我没有区分一元一次方程和多元一次方程组，在我看来这两者动用的是同样的知识集合，没必要分开学。反而，在解题中，我鼓励小孩设立他想设立的任何未知数，唯一的限制的条件是，有多少个未知数就必须有多少个等式关系。这个差异开始我并不知道，直到有一次看到其他培训班的教材才发现，原来培训班都是只教一元一次方程。可这不符合用方程式解题的本意。为什么这么说，用未知数带入题目，就能用直接清晰的数学语言表述题目，不用未知数的话，就需要极其富有技巧地反复推算。而有些题目只设立一个未知数，那等式的设立还是非常需要技巧的，如果可以用多个未知数，那么等式的设立就会变得异常的清晰和直白，而解多元一次方程组并不需要四则运算之外的其他知识，是小朋友完全能胜任的。

就这样，润润学会了解五元一次方程组。