百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0

百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-10¹⁰=0

——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项

黄小宁

（通讯：广州市华南师大南区9-303  邮编510631）

（此文公开发表在《科技信息》2009年第1期）

 [摘要]-1+0+0+…=-1凸显无穷级数 w必比w+a少一个项。顺藤摸瓜得：无穷多双项组成的｛（2n-1，2n）｝与｛1，｛（2n，2n+1）｝｝不是同一数列；医学不知血有血型就会医死人，数学不知集有奇、偶型之分就会…；变集每增（减）一元都比变化前多（少）了一个元，故无穷集U增元变为U+V=K中的V有多少个元，K就比U多多少个元；有无穷大正整数n=1+1+1+…的项比Q =｛1，2，…，n，…｝的项还要多而>Q的一切n；各级数w都有末项；w发散≠w没有所有项的和；对无穷对象同样有：本身-本身=0；无限循环小数并非有理数。

[关键词]中学数学重大错误：将部分误为全部；推翻集合论与自然数公理；分形几何；非标准自然数；标准无

穷大自然数；化解２５００年数学危机；0.999…<1

一、导言：各常识揭示Q =｛1，2，…，n，…｝只是正整数集N的一小部分

逻辑学常识：各元（相比下）均为≈0的极小正数的集远不能包含所有正数。高精度近似计算的核心之一是考察误差函数P是否相比下贴近于0。在这类计算中凡有正实变量可忽略必表明其变域内各数相比下全都是微不足道从而可忽略的极小正数。设某研究只须用到正整数，显然若P可取一切正整数就绝对不可视其为0而忽略，否则就要得出面目全非的结果。近似计算常识：代表正整数的

y=10…0n（亿亿倍于n）+ n=主部10…0n+次要部分n≈10…0n+0>>n=1,2,…（所有n组成Q）

是说可→∞的误差余项P=n与y的主要部分相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略，即对于Q的所有元n都有n+10…0n≈0+10…0n，亦即n的变域Q的各元n相比下全都是≈0的极小正整数，使Q绝对不可包含一切正整数。故Q =｛1，2，…，n，…｝只是正整数集N的一小部分。而且有代数常识：式中y必可一个不漏地>>右端数列的一切n而代表Q外的自然数。所以近似计算的原理及逻辑学、代数常识揭示有正整数n>Q的一切n(第5节证明了Q有最大元n<<10…0n)，中学数学有将一小部分误为全部的重大错误：断定在计算中可视其为0而忽略的变数n≈0的变域Q=N。详论见[1]。一部科学发展史就是一部推翻权威定论的历史。

二、级数发散≠其所有项的和不存在——级数论有几百年重大错误认识

预备知识：w=(项1+项2)+(项3+项4)+…和相应的Q =｛（1，2），（3，4），…｝的项都在括号内。w的项的多少是一定的，若将其两项的和作为一项得w′就非w了。w与w+0是不同的级数，因其各自的项不完全相同。本文显示组成成员相同的级数是同一级数。级数（集）w的项（元），若与Q的项（元）一样多就记为w～Q，若多（少）于Q的项（元）就记为“w多（少）Q”。两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给U增一元得U+｛a｝就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。由大到小变化的变量比比皆是，例如降落的飞机的高度。

5千多年数学一直认为无穷多个数相加是不能完成的。其实这是极片面认识。例如所有非0整数的和H=（1-1）＋（2-2）＋（3-3）＋…＝-H=0，尽管其前n项和的极限不存在。可见级数发散≠其所有项的和不存在。同样，发散级数c+H=c+0≠0表示一个数c。后文的末项定理表明有事实C：若级数的每一项都只有一个它的相反数项同在和式中与之对应（不可1个项与2个项对应），则和式不论是否发散、不论如何改变运算次序都必=0。

奇数项为1偶数项为-1的发散级数s=（1-1）+（1-1）+… =0的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于其是否“一样多”而与某极限是否存在没有任何关系，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响。形成鲜明对比的是在等号两边加1或（-1）就打破了各不同位置上的1与-1一一对应“一样多”的格局，从而使s±1=0±1=±1而≠0！两边再+一相应项就恢复了…。这是小学生都一说就明的最起码常识啊！此常识说s每增（减）一项得s′必比s多（少）一项。s的每两项用括号括起来就没有一项在括号之外了。极显然：给s增添一项得

s-1=-1+[（1-1）+（1-1）+…＝s=0]（比s多了一个数值为-1的项）

中总有一个项在括号之外：新增的-1与哪个1配对？故s=1+（s-1）中的s-1=-1+1-1+1-…不“一样多”而≠（-1+1）+（-1+1）+...即不可表为一双双项的和，亦即其奇数项与偶数项不一样多。

这石破天惊地表明：在s的所有-1组成的-F=-1-1-1-…中添加一个-1得:-1-1-1-…必比-F多一个项；各级数都是一个个项构成的，但“都是一双双项构成的”就是重大错误了。

h定理1：无穷集（级数）G每增（减）一元（项）得G′必比G多（少）一元（项）。

证：P＝｛0，1，2｝与T=P+｛3｝的一部分P对等，表明T的容量>P的容量。同样“给两组无穷大数列中的各个数一一配对。…；如果有一组还有些数没有配出去，这一组就比另一组大些。”（暴永宁译《从一到无穷大》12页，科学出版社，2002.11）G～G。给G增一元a得G′＝｛a｝+G显然不～G：G′的一部分G的各数x与原G的所有元x一一对应结成数偶（x，x）就将原G的元全都给结合光了，G′还剩下一元a无“配偶”∈原G，表明G′比G多含一个元；又因比G′少一元的G是G′减一元a而得的，故…。证毕。

所以百年集论及之前的数学断定“给-F添加n个-1得-n+（-F）=-1-1-1-…必～-F”是重大错误! 这使课本及科普书有下述常识性错误：默认s-1中的1与-1一样多而断定其=0（应=-1）；当s中的1都换为10¹⁰时就得出极荒唐：s-10¹⁰=0，误以为F+10¹⁰=F+1+1+1+…+1～F～-F～Q＝｛1，2，…，n，…｝也使人得此结果。

自识无穷现象几千年来一直对以上重大真相一无所知，使级数论几百年来一直有重大错误认识：级数1-1+1-1+...。如果改变运算次序并把这些项成对组合起来：（1-1）+（1-1）+…，就得到一个仅以0构成的级数。但是，…。（朱梧槚等译《无穷的玩艺》125页，南京大学出版社，1985.4）症结是，在没有证明原级数 “一样多”的情况下就贸然断定其可表为一双双项的和就会造成自相矛盾的一片混乱。另外，以其是发散级数而断定其所有项的和不存在也是百年错误。类似的几百年错误是将上述H=0与1+（-1＋2）+（-2＋3）＋…混为一谈。

不能见到形如y=1-1+1-1+...及x=-1+1-1+1-…的和式就断定其=0，因为y也=1+（-1+1-1+1-...）及x也= -1+

（1-1+1-1+...）。而应当先证明y是否“一样多”，然后才能断定y是否=0，…。在判断是否“一样多”时须注意：级数的各项都不相等;数值相同的两项因其位置各不同而互不相等。

三、｛（2n-1，2n）｝与｛1，｛（2n，2n+1）｝｝不是同一数列——h定理1化解２５００年数学危机

定义1：若非空的D的元可两个为一组地分为一组组至没有一元在组外即各元都可与另一元对应结为一双元使D可二等分，就称其为偶型集，简称偶集；否则就称其为奇型集，简称奇集。相应的有奇、偶型级数、数列。正数集U～负数集V使U+V=I是偶集，而I+{0}是奇集。

不知集有集型就会犯致命错误：将两异集误为同一集——导致全盘皆错的最重大根本错误。

h定理２：若两非空集对等（其分别包含一样多（个）元）则其必同型；故异型的集不对等从而更不相等。

证：据定义1，集D的类型只由其所含元的多少来决定而与元是什么没有任何关系，故元的多少不变，类型就绝对不变。故若D的元没有任何增减而只是例如由x变换为x+1等，则变换前后的集必同型。证毕。

一句话：无穷多双元组成的偶集必然≠无穷多双又+1元组成的奇集。据h定理1、２，偶型w=项1 + 项2 + 项3 +…（～下面的X）的前面增一项就得包含w的奇型w′=项1+（项2+项3 +…=w）（～S）比w多一个项。故

S=｛1，2，3，…，n，…｝=｛1，（2，3），（4，5），…｝

X=｛1，2，3，…，n，…｝的各元n的斜上方都有对应数n+1∈S

中的S比X=｛（1，2），（3，4），…｝多1元。第5节的末项定理更能说明“S=X”是几千年无人识破的似是而非的假象，使康脱脱离健康误入百年歧途、使人们否定h定理1而坚信：谁说推翻了集论谁就是想出名想到疯了！

h定理３：任何无穷奇集D必=某偶集+某单元集。这表明D有且只有一个元不能与另一元配对。

证：设空筐K装进了D，变域为D的能取尽D内元的x若“一抓两个”地不断取元必能将K内数全部取出。据h定理1，K内数必由多到少、再到无地渐变，断定K变空前始终总有无穷多个数，是非常尖锐的自相矛盾。元素从无到有不断增多的变集必首先包含有穷多个元，然后才能含无穷多个元。同理，…。凡违反此最起码逻辑学常识的理论必自相矛盾而不合实际。不断减元的K只剩自然数n个元时的n显然是奇数=某偶数+1。证毕。

关键：对人而言D内数多得取之不尽，人不能遍取D内数，但变域为D的x却能取尽D内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集。说沿x轴由位置1→0的质点x≥0在由大到小取正数x的过程中总与0相隔无穷多个正数位置：x/2>x/4>x/8>…>…>0就是说其永远都不能取光变域的正数——从而更不能取0——如引起数学危机的2500年芝诺悖论深刻揭示数学不能用数表达运动。不能用数表达运动的相关学科还处于不知其所以然的唯象论阶段。h定理1表明质点能变至与０点只相隔n个正数位置。［２］证明了x轴有最小正数点。

变型律：某型级数增加或失去奇数个项或奇级数就变为非某型级数了，而增或失偶数个项或偶级数就不变型。同样，集合也按此“±偶则不变，±奇则变”变型。椐定义1和h定理３易证此规律。

据U+V（U～V）是偶集和变型律，在区间无穷集中：D=[a，b]=[a，e）+{e}+（e，b][e=（a+b）/2是D的中点]=一偶集+{e}是奇集，（a，b）还是奇集，（a，b]与 [a，b）则都是偶集；（奇集D）+E=F中，若E是偶集则F与D同型，否则F是偶集。

由一双双项构成的偶级数（数列）的所有奇数项各自都必有右邻项与之配对，而显然奇级数中必有一奇数项无右邻项与之配对。文献[1]证明了若形如{1，2，…，n，…}的集Q的各元n<n+1则Q必有最大元。

四、h定理4：无穷集U+V中的V有多少（个）元，U+V就比U多多少（个）元——初3课本就有重大错误

 证：据变型律与h定理1，变集每增一元都比增元前多一元，故若其从=U时开始不断地增一元，又增一元，…最后由U变为U+V，则其共增加多少（个）元，U+V就比U多多少（个）元。证毕。

在无穷集K＝G+H中减去全部元就得只有0个元的I=K-K，而只减去无穷集G的全部元得H=G+H-G至少有一个元，这减全部与只减一部分的不同结果也从一个侧面说明K的全部元绝对不可与其任何一部分的元一样多。

“笔下线段不断变长就是可变点集包含的点不断增多。” 非常形象直观地...。数学返朴归真的意义极其重大。

Q₁＝｛1，2，…，n，…｝～下行的偶数集UÌN=U+（N-U）=U+奇数集V

N ＝｛2，4，…，2n，…｝+V=U+V=Q₂中，V有多少（个）元，N就比头上的Q₁～U多多少（个）元——因为V的各元2n-1的头上都无对应数n∈Q₁——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻自识正整数5千多年来一直举世公认的“无正整数n能> Q₁的一切n”的表达式表达：N内有>Q₁的一切n的无穷大正整数n=1+1+1+…（式中1比Q₁的元还要多），即Q₁有上界∈N。且下节末项定理断定Q₁有最大元n<2n∈N。

故初3数学断定取N内值的y=2n>n=1,2，3，…的定义域Q₁=N是搞错了n的变域从而使康脱误入百年歧途的重大错误：将部分误为全部。丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学自相矛盾。

五、末项定理：各无穷级数w各～相应{1，2，…，n，…}分别都有末项

证：㈠先证奇级数w必有末项：w中所有有右邻项的奇数项分别都与其右邻组成一双项在括号内：(项n + 项n+1)（n是奇数1，3，…），据定义1，括号外必有一奇数项无右邻项——显然这项就是w的末项。证毕。故奇型Q={（1，2)，（3，4)，…，末项q}（“…”表示的一双双项多得写不完），若q+1也是数则其显然不∈Q！

    ㈡偶级数w-其项1=项2)+(项3+项4)+…=w′是奇级数必有末项（据㈠）——显然其也是w的末项。故无论w是何型都必有末项与首项相隔无穷多个项。证毕。注！无穷集【0，1】也有最大元。

据末项定理，N有最大元n=n是无穷大自然数，若N的各元n均能由n变换为n+1>n得B={2，3，…，n+1，…}～N，则因B中有相应的n+1>n是超自然数，故B并非N的真子集N-{1}——推翻了自然数公理。

“没有最大负数”但“对于一切（任何）负数x都有y=x+0.1>x（可取一切负数）”显然表示y必可变至>

一切负数——由此可知必有非负数>一切负数。同样“对于一切标准正整数n都有代表数的y=n+1>n”也明确表示有非标准正整数y>一切标准正整数n。

同理，N的各元n均由n变换为n-1得D={0，1，2，…，n-1，…}～N，D与N+{0}={0，1，2，…，n-1，…}不能混为一谈，因为据末项定理和h定理1，N+{0}比N～D多一个元。…。

“对于N的一切偶数2n都有N的奇数2n-1<2n”明确表示有N的奇数的一切偶数2n。同样“对于N的一切奇数2n-1都有N的2n>2n-1”也明确表示有N的偶数2n>N的一切奇数2n-1，此2n的后继显然不∈N。

如[1]所述“n-1<任何自然数n”明确表示有非自然数n-1<任何自然数n——与是否认识0与负数完全无关；同样，其也明确表示有非自然数n+1>任何自然数n——与是否认识最大及超自然数完全无关。

末项定理表明“各w的项一样多”是重大错误，使人得出面目全非的极荒唐结论：（F+1）-F=0；…。

“综上所述，得革命结论g：凡有首项的无穷序列L必～相应的形如{1，2，…，n，…}的集Q，但Q有可能是N的一部分也可能是N的真扩集——包含N及N外的超自然数而不一定=N^[1]。”

六、“本身-本身=0”是不分“有、无穷”而皆成立的最起码常识

s=1-1+1-1+... =0表明“一样多”。因为两对应项改变位置只是改变了它们之间的距离或前后关系而没有改变它们的“配偶”关系，故s的各项任意改变位置对“一样多”没有任何改变，所以由事实C得

①s=（1+1+1+…）+（-1-1-1-…）=0=[F+（-F）]（F的1与-F的-1一样多）。由此得：⑴任何无穷级数-本身=0。⑵据末项定理，s中的F是无穷大自然数或超自然数。⑶“无穷多个数相加是不能完成的”是错误认识。

对极限论最关键的是要弄清“任意给定的正数M”中的M是在哪一范围内任意给定的数？是在（1，1000）内还

是在所有正数内任意给定？其实是在所有有穷正数内任意给定！“|c_n|可以变得超越任何有限数（对随便什么M>0,它都能变得比M大），…{c_n}的极限是∞^[3]。”这“超越任何有限数”的|c_n|>M所取各正数|c_n|>任何有限正数M显然是只能与分形几何中相应闭折线的无穷长周长相对应的无穷大正数。故标准数学内暗含有“更无理”数x>M。

②y=2x+x-x=2x+0>0中的x可→∞即x变至后来所取各正数x是无穷大正数均>任何有限数M。③数学常须研究无穷集K-K=?以及K-（K的无穷真子集G）=?这就是研究“无穷多-无穷多”的问题。如上所述在K＝G+H中减去全部元就得只有0个元的I=K-K，而只减去G…。④分形几何中的雪花闭折线的无穷长周长3c-3c=0。

①②③④说明“本身-本身=0”是不分“有穷”与“无穷”而皆成立的最起码常识。

七、编序号常识及分形几何显示存在有首、末项的无穷序列以及无穷长之间也是有长短之分的

设有无穷多间一房只住一人的客房住满客，“客房号码可以用自然数一个个的标出来，即用1号，2号，3号，…标出来，所有自然数无一遗漏，…”（欧阳光中《集合和映射》58页）n号房客也编为n号人。现又来了个m号客，因为用正整数n标记各房就无一遗漏地用光一切正整数n了，故m是N以外的序号数>一切正整数（为显示先后顺序及元素的多少，不可用非正数来编号。），从而有无穷序列1，2，3，…，m-1，m。希尔伯特说让各n号人都移至n+1号房，就腾出1号房给m号客了。殊不知有超自然数m>所有自然数n！让m-1号人移至哪号房? 客1，客2，客3，…中的所有编号数组成N。现又来了个客m，显然m不∈N！故对于编号，N远远不够用！

关键是以康脱之道纠康脱百年之错：n号人配n号房就配光房间了，剩下m（非标准自然数）号人无房可配，充分说明客比房多一个,从而使客与房根本不可一一对应。

边长为1=1/3ⁿ的等边△由3条直线段连接而成，其一条边A—B变为相应的折线段就成为分形几何中各边长=b=1/3ⁿ（n >“任给定正数”M）<“任意给定的正数”1/M的无穷多角（边）形：柯赫雪花闭折线的1/3部分：由无穷多同一平面的长为b、斜率各不同的无穷短直线段(短至不可与任何有穷正数对应)连接而成的折线段AB，其长度c=4ⁿ>M个b的和:b+b+b+…（b多得写不完）=（4/3）ⁿ>M。在放大足够大倍思维显微镜下可知AB的“像素”是 ，即其有无穷多去底△，只不过角的边长都<1/M从而使AB看起来是曲线罢了，其所有直线段的所有端点可排为首项为点A，项2为与点A的距离为b的点，…，末项为点B的无穷点列。将AB“拉直”就成为可皱折还原为AB的有两端点的无穷长直线段，其所有非A点都向右移动b段距离，点B到点A的距离c+b就>c了。由图可知c<AB的周长3c, c±b=d≠c即无穷级数d的项多或少于c的项，c-c=0。边长为1米的△演变而成的大雪花的周长（不与任何有穷数对应）>边长为1分米的△演变而成的小花的周长. 狄利克雷：a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值。（李晓奇《先驱者的足迹——高等数学的形成》90页）而a和b之间有无穷多个数。无此正确的感性认识就无高等数学。变域为【a，b】的x在由小到大取值的过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，即其取数过程是有完有了、有始有终的。

以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。

记非0整数集=Z，负整数集=N^-。非常显然：以下Q₃～Z所包含的数n远多于N=Q₂所包含的数n：

Q₃=｛1，2，，3，，4，…，，n，…｝

Z =｛1，-1，2，-2，…，n，-n，…｝（各n都∈N）=N+N^-

N =｛1，□，2，，□，…，n，□，…｝= Q₂。⑴一目了然：Z的各正元n的脚下都有对应数n，而各负元-n…，即Z的所有正元n与N的各元n一一配对：n←→   n就将N的元都配光了，Z还剩下所有负元-n都无“配偶”n∈N说明Z多N。⑵N的各元n都有两对应数±n且所有±n组成Z——这种“一二对应”说明Z的元比N的元多一倍。⑶用正整数n为Z的各n编号：n=n号数就无一遗漏地用光一切正整数n了，于是给Z的-n编号就须用超自然数m>所有自然数n了！可见即使不懂末项定理也充分说明Z多N。

形成鲜明对比的是Z的各元n、-n的头上都有对应数n∈Q₃ 及…，即Z的各元与Q₃的各元一一对应。

自识正整数5千多年来一直举世公认N=Q₂=Q₁=Q₃的重大错误使康脱推出违反语文常识的极荒唐“革命发现”。

八、再再论小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误——无限循环小数并非有理数

数列A：0.1，0.01，0.001，…，1／10ⁿ，…（充分后的项都是＜“任给定的正数”ε的正数）

数列B：0.9，0.99，0.999，…，1-(1／10ⁿ),…（项n是n位小数必<项 n＋1且都≠1）

据末项定理级数x=0.999…必有末项而=0.999…9（省略号表示的9多得写不完,正如1与2之间的实数多得写不完一样），故1=0.999…9+0.000…01（两项都是F=1+1+1+…+1位小数且分别是数列B、A的项F）。

上文表明数列B的项F=x<项（F +1）=x+（F+1）位小数0.0…09=0.9999…9<项（F +2）<…<<项1000F<…<…<1。故定义x=1是削足适履的常识性错误：定义数列A中有（＜ε的）正数=0。其实级数0.9+0.09+0.009+…的部分和的极限1与级数的所有项的和x<1是两个根本不同的概念。不少小学生均能根据数列A、B的数均非0和均非1而正确地察觉到形如此x的数无限逼近1但≠1。此感性认识已表明0.999…<1应表示一类而非一个数。

九、结语：“数学特殊”论会扼杀人们发现前人错误的能力从而严重阻碍数学的飞跃发展

“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！让世人继续陶醉在错误的“乐园”内不是真正尊重与爱护数学家，恰恰相反，…。

“数学特殊”论：数学的“命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它一切科学的命题…，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。”（爱因斯坦文集（一），商务印书馆，1976：136）被颠覆，昭示数学革命的爆发。

备注：已对本文采取法律公证等法律保护措施。

参考文献

[1]黄小宁，50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。

[2]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息，2007（36）:31.

[3]周伯壎，数列与极限[M]，江苏人民出版社，1978.12：27。

[4]黄小宁，一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[5]黄小宁，再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误[J]，教育前沿，2007（12）：110。

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