TSP(旅行者问题)——动态规划详解

1.问题定义

      TSP问题（旅行商问题）是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。

      假设现在有四个城市，0,1,2,3，他们之间的代价如图一，可以存成二维表的形式

                     

                      图一                                                                                               

        现在要从城市0出发，最后又回到0，期间1，2，3都必须并且只能经过一次，使代价最小。

2.动态规划可行性

        设s, s1, s2, …, sp, s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s到下一个城市s1已经求出，则问题转化为求从s1到s的最短路径，显然s1, s2, …, sp, s一定构成一条从s1到s的最短路径，所以TSP问题是构成最优子结构性质的，用动态规划来求解也是合理的。

3.推导动态规划方程

        假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。

        推导：(分情况来讨论)

        ①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的 城市3->城市0(0为起点城市)。此时d(i, V’)=Cis(就是 城市i 到 城市s 的距离)、

        ②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。

           d(i, V’)=min{Cik +  d(k, V’-{k})}

           注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。

        综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：

        

4.实例分析

     现在对问题定义中的例子来说明TSP的求解过程。(假设出发城市是 0城市)

    

    ①我们要求的最终结果是d(0,{1,2,3}),它表示，从城市0开始，经过{1,2,3}之中的城市并且只有一次，求出最短路径.

    ②d(0,{1,2,3})是不能一下子求出来的，那么他的值是怎么得出的呢？看上图的第二层，第二层表明了d(0,{1,2,3})所需依赖的值。那么得出：

       d(0,{1,2,3})=min  {

                                    C01+d(1,{2,3})

                                    C02+d{2,{1,3}}

                                    C03+d{3,{1,2}}

                                  }

     ③d(1,{2,3})，d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同样也不是一步就能求出来的，它们的解一样需要有依赖，就比如说d(1,{2,3})

       d(1,{2,3})=min{

                              C12+d(2,{3})                             

                              C13+d(3,{2})

                              }

       d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同样需要这么求。

    ④按照上面的思路，只有最后一层的，当当V’为空集时，Cis的值才可以求，它的值是直接从

这张表里求得的。

     5.编程思路

        将d(i, V’)转换成二维表，d[i][j]

        在程序中模拟填表的过程，主要要考虑到j这个参数的表示，它要代表一个集合，可以用二维数组来表示。

   6.源代码

注：由于本人水平有限，并且主要在这里是体现思路，所以程序并不是很完善，代码质量也不高，很地方可以写得通用一些，所以这里只是提供一个参考，程序的进一步完善，由读者自由发挥。

#include
#include

int IsIncluded(int x,int array[3])//x是否包含在数组中
{
    if((array[0] != x) && (array[1] != x) && (array[2] != x))
        return 0;
    return 1;
}
int Left(int k,int array[3],int V[8][3])//实现V'-{k} 的下标检索
{
    int i = 0,index = 0,array_0_count = 0,array_1_count = 0,array_2_count = 0,array_3_count = 0;
    int V_0_count = 0,V_1_count = 0,V_2_count = 0,V_3_count = 0;
    int temp[3];
    for(i = 0; i < 3; i++)
        temp[i] = array[i];
    for(i = 0; i < 3; i++)
        if(temp[i] == k)
            temp[i] = 0;  //相当于去掉k这个城市
    for(i = 0; i < 3; i++)
    {
        if(temp[i] == 0)
            array_0_count++;
        else if(temp[i] == 1)
            array_1_count++;
        else if(temp[i] == 2)
            array_2_count++;
        else
            array_3_count++;
    }
    for(index = 0; index < 8; index++)
    {
        for(i=0; i < 3; i++)
        {
            if(V[index][i] == 0)
                V_0_count++;
            else if(V[index][i] == 1)
                V_1_count++;
            else if(V[index][i] == 2)
                V_2_count++;
            else
                V_3_count++;
        }
        if((array_0_count == V_0_count) && (array_1_count == V_1_count)
            && (array_2_count == V_2_count) && (array_3_count == V_3_count))
            return index;
        V_0_count = 0;
        V_1_count = 0;
        V_2_count = 0;
        V_3_count = 0;
    }
    return 0;
}

void TSP(int d[4][8],int c[4][4],int V[8][3],int n)
{
    int i = 0,j = 0,k = 0;

    for(i = 1; i < n; i++)//V'为空时，给赋值，
        d[i][0] = c[i][0];

    for(j = 1; j < 7; j++)//按列遍历不同集合，{1},{2},{3},{1,2},{1,3}.....
    {
        for(i = 1; i < n; i++)//遍历城市1，2，3
        {
            if( !IsIncluded(i,V[j]) )//i必须不在集合中，否则就属于经过两次，不符合题意
            {
                for(k = 0; k < 3; k++)//分别试探集合中的每一点，取最小值
                {
                    if((V[j][k] != 0) && ((c[i][V[j][k]] + d[V[j][k]][Left(V[j][k],V[j],V)]) < d[i][j]))
                        d[i][j] = c[i][V[j][k]] + d[V[j][k]][Left(V[j][k],V[j],V)];
                }
            }
        }//end of     for(i = 1; i < n; i++)//遍历城市1，2，3
    }//end of for(j = 1; j < ((int)pow(2,n)-1); j++)
    for(k = 0; k < 3; k++)//分别试探下一步为集合中的任何一点，取最小值
    {
        if((V[7][k] != 0) && (c[0][V[7][k]] + d[V[7][k]][Left(V[7][k],V[7],V)]) < d[0][7])
            d[0][7] = c[0][V[7][k]] + d[V[7][k]][Left(V[7][k],V[7],V)];
    }
}
void main()
{
    int V[8][3]=
    {
        0,0,0,
        0,0,1,
        0,0,2,
        0,0,3,
        0,1,2,
        0,1,3,
        0,2,3,
        1,2,3
    };
    int c[4][4]=
    {
        0,3,6,7,
        5,0,2,3,
        6,4,0,2,
        3,7,5,0
    };
    int d[4][8]={0},i=0,j=0;

    for(i=0; i<4; i++)
        for(j=0; j<8; j++)
            d[i][j]=1000;   //假设1000为无穷大
    TSP(d,c,V,4);
    printf("The least road is:%d/n",d[0][7]);
}