「学习笔记」欧拉函数 欧拉反演

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欧拉函数

定义

​ \(1 \sim N\) 中与 \(N\) 互质的数的个数被成为欧拉函数, 记为 \(\varphi(N)\).

​ 若在算数基本定理中 \(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2} \cdots p_k^{c_k}\), 则

\[\varphi(N)= N * \Pi_{i=1}^k{ \left(1- \frac{1}{p_i}\right)}. \]

性质

​ 性质一 \(\forall n>1\), \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的和为 \(\frac{n*\varphi(n)}{2}\).

​ 证明: 因为 \(\gcd(n,x)=\gcd(n,n-x)\), 所以 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数是成对存在的, 共有 \(\frac{\varphi(n)}{2}\) 对, 每一对的和为 \(n\), 总和便为 \(\frac{n*\varphi(n)}{2}\).

​ 性质二 若 \(\gcd(a,b)=1\) , 则 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\).

​ 证明: 由 \(\varphi(n)\) 的计算式可得. 因此, 可以得到 \(\varphi(n)\) 为积性函数.

积性函数

​ 若当 \(\gcd(a,b)=1\) 时, 有\(f(ab)=f(a)f(b)\), 则称函数 \(f\) 为积性函数.

​ 性质三 若 \(f\) 是积性函数, 且在算数基本定理中 \(n=\Pi_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\), 则 \(f(n)=\Pi_{i=1}^{k}f(p_i^{c_i})\).

​ 性质四 若质数 \(p|n\), 且 \(p^2|n\), 则 \(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})*p\).

​ 证明: 因为 \(p^2|n\) , 所以 \(n\) 与 \(\frac{n}{p}\) 的质因子种类无差别, 再由 \(\varphi(n)\) 的计算式便可得到该性质.

​ 性质五 若指数 \(p|n\), 但 \(p^2 \not|\ n\), 则 \(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})(p-1)\).

​ 证明: 因为 \(p^2 \not|\ n\), 所以 \(\frac{n}{p}\) 与 \(p\) 互质, 所以 \(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})\varphi(p)=\varphi(\frac{n}{p})(p-1)\).

​ 性质六 \(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\).

​ 证明: 设 \(f(x)=\sum_{d|x}\varphi(d)\), \(\gcd(i,j)=1\), 则 \(f(ij) =\sum_{d|ij}\varphi(d) =\left( \sum_{d|i}\varphi(d)\right)*\left( \sum_{d|j}\varphi(d)\right)=f(i)f(j).\) 所以 \(f\) 为积性函数. 又因为 \(f(p^c)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\cdots +\varphi(p^c)=1+p-1+p(p-1)+\cdots p^{c-1}(p-1)=p^c\). (等比数列求和). 所以 \(f(n)=\Pi_{i=1}^{k}f(p_i^{k_i})=\Pi_{i=1}^{k}p_i^{k_i}=n\).

线性筛法

根据性质四和性质五, 可以类比质数的线性筛法得到 \(\varphi(n)\) 的线性筛法.

void _phi(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!v[i]){ v[i]=i; pri[++pri[0]]=i; phi[i]=i-1; }
        for(int j=1;j<=pri[0]&&pri[j]<=v[i]&&i*pri[j]<=n;j++){
            v[i*pri[j]]=pri[j];
            phi[i*pri[j]]= i%pri[j] ?phi[i]*(pri[j]-1) :phi[i]*pri[j];
        }
    }
}

例题

[POJ3090]Visible Lattice Points

欧拉反演

利用上文中的性质六 : \(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\).

如 : 求 \(\sum_{i=1}^{n}\gcd(i,n)\).

将 \(\gcd(i,n)\) 带入性质六的式子中,

\[\begin{align} \sum_{i=1}^{n} \gcd(i,n) &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{d|\gcd(i,n)}\varphi(d) \\ &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\sum_{d|n}\varphi(d) \\ &= \sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i} \varphi(d) \\ &= \sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d). \end{align} \]

就可以在 \(\sqrt n\) 的时间内计算出答案.