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随机变量的统计量

概率论与随机过程学习笔记学习：

1、随机变量的统计量

随机变量的N阶矩定义为:

E(X^{n})=\int_{-\infty }^{+\infty }x^{n}p\left ( x \right )dx            N阶矩

 

一阶矩（n=1）是随机变量的均值，

m_{x}=E(x)=\int_{-\infty }^{+\infty }xp(x)dx

 

二阶矩（n=2）是功率，

m_{x^{2}}=E(x^{2})=\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}p(x)dx

 

如果吧随机变量的均值减去，再求N阶矩，就是N阶中心矩。

E(Y)=\int_{-\infty }^{+\infty }(x-m_{x})^{n}p\left ( x \right )dx    N阶中心矩

二阶中心矩称为方差，

 

\sigma _{x}^{2}=\int_{-\infty }^{+\infty }(x-m_{x})^{2}p\left ( x \right )dx

方差反应随机变量偏离均值的程度。如果一个随机变量均值为0，那么方差也就等于信号的功率。

 

推广一下，到两个随机变量

两个随机变量X1，X2的联合概率密度函数为p(x_{1},x_{2})。联合矩定义为

E(X_{1}^{k}X_{2}^{n})=\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }x_{1}^{k}x_{2}^{n}p\left ( x_{1},x_{2} \right )dx_{1}dx_{2}

联合中心矩定义为

 E[(X_{1}-m_{1})^{k}(X_{2}-m_{2})^{n})]=\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }(x_{1}-m_{1})^{k}(x_{2}-m_{2})^{n}p\left ( x_{1},x_{2} \right )dx_{1}dx_{2}

当k=n=1，联合矩E\left ( X_{1} X_{2}\right )称为相关，联合中心矩E\left [ \left ( X_{1}-m_{1}\left ( X_{2} -m_{2}\right ) \right ) \right ]称为协方差。

如果

E(X_{1}X_{2})=E(X_{1})E(X_{2}),则称X1和X2不相关。

如果把所有均值为零的随机变量看作是一个线性空间，可以得出E\left ( X_{1} X_{2}\right )符合内积定义。如果两个随机变量独立或者不相关，那么

E(X_{1}X_{2})=E(X_{1})E(X_{2})=0，那么这两个随机变量正交。

 

 

 

2、几种常见的分布函数

正态分布

p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}

数学期望E(x)=\mu

方差\sigma _{x}^{2}=\sigma ^{2}

均值为0，方差为1的正太分布称为标准正态分布

p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-(x )^{2}/2}

通信中常用的Q函数定义为：

Q(x)=\int_{x}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-(t )^{2}/2}dt,x\geq 0

误差函数定义：

erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{x}e^{-\eta ^{2}}d\eta

互补误差函数定义：

erfc(x)=1-erf(x)

 

 

 

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他