计算机中的整数与浮点数

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1 整数

• 整数在计算机中使用补码表示。

  • 补码：正数的补码=原码；负数的补码=反码+1，如

    • [+1]_补 = 0000 0001
    • [- 1]_补 = 1111 1111

  • 补码的作用:

    • 一是为了将减法转为加法，[A-B]_补=[A]_补+[-B]_补码，
    • 二是统一+0和-0。[+0]_补=[-0]_补

  • 补码转为原码

    • 原码=补码的补码
    • 原码= 补码-1的反码

原码：原码就是直接将数转为二进制，对于有符号的数来说，用第一位表示符号，1表示负数，0表示正数。 >其余位表示值。如：

[+1]_原 = 0000 0001
[- 1]_原 = 1000 0001

反码：正数的反码=原码；负数的反码：符号位不变，其他位按位取反。如：

[+1]_反 = 0000 0001
[- 1]_反 = 1111 1110

2 浮点数

2.1 IEEE规定浮点数在计算机中的表示方法

浮点数在计算机中不是以二进制原码来表示，而是用二进制科学计数法表示

• 将十进制浮点数转为二进制浮点数

• 将二进制浮点数用规范的二进制科学计数法表示为： ±1.bbbb...∗2i ± 1. b b b b . . . ∗ 2 i

  • ±叫做符号位，放在左边第一位。
  • bbb…叫做尾数，放在尾数域中，由于规范的二进制科学计数法的第一位都是1，所以省略
    
    • float（4B）中尾数域为占23尾，精度为24位
    • double（8B）中尾数域占52尾，精度为53位
  • i叫做实际指数，由于指数有正有负，而负数的补码与原码不同，为了解决这个问题，给实际指数i加上一个偏差后放在指数域中
    
    • 对于单精度float类型，指数域有８位，可以表示0~255，实际值为-127~128，其中0和255用于保存特殊值，偏差为127。
    • 对于双精度double类型，指数域有11位，可以表示0~2047，实际值为-1023~1024，其中0和2047用于保存特殊值，偏差为1023。

• 符号域、指数域、尾数域的占位情况

  • 对于float类型的数据，其在内存中的表示为：
  • 对于double类型，其表示形式如下：

• IEEE特殊值规定

  • NaN错误
    
    • 实数范围内发生对负数开平方时产生此错误
    • 指数域全为1，尾数域不全为0，表示该错误
  • 正负无穷大
    
    • 两个大数相乘产生的上溢，IEEE规定此时不是将结果舍入为可以保存的最大的浮点数（因为这个数可能离实际的结果相差太远而毫无意义），而是将其舍入为无穷。
    • 指数域全1，尾数域全0，表示该值
  • 正负0
    
    • IEEE 标准的浮点数格式中，小数点左侧的1是隐藏的，而零显然需要尾数必须是零。因此零也就无法直接用这种格式表达而只能特殊处理
    • 指数域全0，尾数域全0，表示该值
  • 非规范化浮点数： ±0.bbbb...∗2i ± 0. b b b b . . . ∗ 2 i
    
    • 两个极小数相减的差可能会下溢
    • 指数域全0，尾数域不全0，表示此时采用非规范浮点数，非规范浮点数的指数偏差比规范浮点数大1。

2.2 计算机中表示的浮点数转为十进制

十进制=(−1)符号位(1+∑i=1尾数域长度(b尾数域长度−i∗2−i))∗2指数域值（移码表示）−偏差 十 进 制 = ( − 1 ) 符 号 位 ( 1 + ∑ i = 1 尾 数 域 长 度 ( b 尾 数 域 长 度 − i ∗ 2 − i ) ) ∗ 2 指 数 域 值 （ 移 码 表 示 ） − 偏 差

示列：

13.5十进制=(−1)1(1+∑i=123(b23−i∗2−i))∗2130−127 13.5 十 进 制 = ( − 1 ) 1 ( 1 + ∑ i = 1 23 ( b 23 − i ∗ 2 − i ) ) ∗ 2 130 − 127

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