并查集的优化---路径压缩与启发式合并

并查集的优化分为两类：一种是 优化查找的路径压缩，一种是启发式合并（按集合大小合并与按秩（高）合并）

路径压缩

a.描述：如果查找的总路径过长，尤其是一条链的情况下，那么朴素的查找可能会超时。于是，每次在查找完根节点后，可以将查找路径上的节点直接指向根节点。
b.缺点：在一定程度上破坏了树的结构，也不便于记录其他的附加信息，如有特殊要求，请慎用（除非能够转化为与根节点的关系）
下面是递归版的代码

    int find(int x) //查找x的祖先节点
    {  // fa[x]表示x的父亲节点
        return fa[x]=(fa[x]!=x?find(fa[x]):x);
    }  //在返回的过程，当前x的节点也顺便指向了根节点

启发式合并

• 按秩（高）合并
  描述：使用秩来表示树高度的上界，在合并时，总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根，这样找祖先会减少递归迭代的次数，最坏只有logN次。
  注意：由于需要记录rank[]来表示高度，所以一般不与路径压缩同用（会破坏数的高度）

    void join(int x,int y)
    {  
        int xx=find(x),yy=find(y); //xx,yy 分别表示x与y的祖先节点
        if(xx==yy) return ;
        if(rank[xx]>rank[yy]) //rank[] 表示树的高度
            fa[yy]=xx; //将yy接到xx上去
       //由于xx的高度比yy的大，所以无需更新高度  rank[xx]>=rank[yy]+1
        else
        {
            fa[xx]=yy;//将xx接到yy上去
            if(rank[xx]==rank[yy])
                rank[yy]++;
        }
}

• 按集合大小合并(启发式合并)
  描述：与按秩合并类似，只是将合并的参照改为集合的大小
  优点：可与路径压缩同用
  均摊复杂度: log2N log 2 ⁡ N

void join(int x,int y)
{
    int xx=find(x),yy=find(y);
    if(xx==yy) return ;
    if(size[xx]>size[yy]) //记录size[]集合大小
    {
        size[xx]+=size[yy];
        fa[yy]=xx;
    }
    else
    {
        size[yy]+=size[xx];
        fa[xx]=yy;
    }
}

PS:只有同时采用”路径压缩”与”启发式合并”时,每次find的时间复杂度才能降为 α(n) α ( n )

以上就是并查集中查与并的优化，至于优化的效率如何，可自行找试题测试

洛谷模板题

带权并查集