永磁同步电机(PMSM)知识系列之坐标变换

坐标变换

  为了简化自然坐标系下三相 PMSM 的数学模型,PMSM控制算法中采用的坐标变换通常包括静止坐标变换( Clark 变换)和同步旋转坐标变换( Park变换) 。各坐标系如下图所示,其中,ABC为三相坐标系,α-β为静止坐标系(α与A相重合,β与α垂直,逆时针旋转90°),d-q为同步旋转坐标系(d轴为直轴,代表励磁分量,q轴为交轴,代表力矩分量;dq轴可理解为建立在转子上,与转子一起旋转)。图中 ω e \omega _{e} ωe为转子角速度, θ e \theta_{e} θe为电角度。
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ABC为三相坐标系下,三相电压的大小是随时间变化的正弦波形,相位依次相差120°,如下图所示:

α-β静止坐标系下,αβ的大小也是随时间变化的正弦波形,相位相差90°(β滞后α 90°),如下图:
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d-q同步旋转坐标系的旋转角速度与转子角速度相同,d-q轴的分量为恒定不变的两个值,如图所示:
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Clark变换

Clark变换:三相坐标系到两相(α-β)静止坐标系,ABC→αβ(3S→2S),坐标变换公式如下(f0为零序分量,计算时可忽略不计):
在这里插入图片描述
  其中,f可以代表电机的电压、电流、磁链等变量,根据三相坐标向两相(α-β)静止坐标投影,可得到Clark坐标变换矩阵如下:
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  变换矩阵前的系数 2 /3 是根据幅值不变原则作为约束条件得到的;当采用功率不变原则作为约束条件时,该系数变为 2 3 \sqrt{\frac{2}{3}} 32 。 本系列采取幅值不变原则。
  MATLAB/Simulink搭建Clark变换仿真模型如下:
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  仿真输入为三相ABC,幅值100,角速度2π*50,相位差120°的三相正弦波
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  仿真结果如下,可以看出Clark变换后,三相正弦波ABC变为两相正弦波αβ,幅值不变,β滞后α相位90°。
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Park变换

Park变换:两相(α-β)静止坐标系到d-q同步旋转坐标系,αβ→dq(2s→2r),坐标变换公式如下
在这里插入图片描述
根据两相(α-β)静止坐标向d-q坐标轴投影,可得到Park坐标变换矩阵(旋转变换矩阵)如下,细心观察可以发现该变换矩阵为正交矩阵,所以Park变换本质是正交变换
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  MATLAB/Simulink搭建Park变换仿真模型如下:
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  仿真输入为两相αβ及转子角度θ,其中αβ两相正弦波幅值100,角速度2π50,β滞后α相位90°,转子角度θ为角速度2π50乘以时间(与坐标系旋转角速度一致)。
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  仿真结果如下,可以看出Park变换后,两相正弦波α-β变为d-q两个直流分量,且此时d=0,q=-100,依然满足幅值不变原则。
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反Park变换

反Park变换:d-q同步旋转坐标系到两相(α-β)静止坐标系,dq→αβ(2r→2s),坐标变换公式如下
在这里插入图片描述
其中,反Park变换矩阵 T 2 r / 2 s T_{2r/2s} T2r/2s与Park变换矩阵 T 2 s / 2 r T_{2s/2r} T2s/2r互为逆矩阵,Park变换矩阵 T 2 s / 2 r T_{2s/2r} T2s/2r为正交矩阵,所以反Park变换矩阵 T 2 r / 2 s T_{2r/2s} T2r/2s将Park变换矩阵 T 2 s / 2 r T_{2s/2r} T2s/2r转置即可得到。
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  MATLAB/Simulink搭建反Park变换仿真模型如下:
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  仿真输入为两个直流量(d=0,q=-100)及转子角度θ(2π*50t),仿真结果如下,可以看出反Park变换正好与Park变换结果相反。
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