永磁同步电机（PMSM）知识系列之坐标变换

坐标变换

  为了简化自然坐标系下三相 PMSM 的数学模型，PMSM控制算法中采用的坐标变换通常包括静止坐标变换（ Clark 变换）和同步旋转坐标变换（ Park变换） 。各坐标系如下图所示，其中，ABC为三相坐标系，α-β为静止坐标系（α与A相重合，β与α垂直，逆时针旋转90°），d-q为同步旋转坐标系（d轴为直轴，代表励磁分量，q轴为交轴，代表力矩分量；dq轴可理解为建立在转子上，与转子一起旋转）。图中${\omega }_e$为转子角速度，${\theta }_e$为电角度。

ABC为三相坐标系下，三相电压的大小是随时间变化的正弦波形，相位依次相差120°，如下图所示：

α-β静止坐标系下，αβ的大小也是随时间变化的正弦波形，相位相差90°（β滞后α 90°），如下图：

d-q同步旋转坐标系的旋转角速度与转子角速度相同，d-q轴的分量为恒定不变的两个值，如图所示：

Clark变换

Clark变换：三相坐标系到两相（α-β）静止坐标系，ABC→αβ（3S→2S），坐标变换公式如下（f0为零序分量，计算时可忽略不计）：

  其中，f可以代表电机的电压、电流、磁链等变量，根据三相坐标向两相（α-β）静止坐标投影，可得到Clark坐标变换矩阵如下：

  变换矩阵前的系数 2 /3 是根据幅值不变原则作为约束条件得到的；当采用功率不变原则作为约束条件时，该系数变为$\sqrt{\frac{2}{3}}$。 本系列采取幅值不变原则。
  MATLAB/Simulink搭建Clark变换仿真模型如下：

  仿真输入为三相ABC，幅值100，角速度2π*50，相位差120°的三相正弦波

  仿真结果如下，可以看出Clark变换后，三相正弦波ABC变为两相正弦波αβ，幅值不变，β滞后α相位90°。

Park变换

Park变换：两相（α-β）静止坐标系到d-q同步旋转坐标系，αβ→dq（2s→2r），坐标变换公式如下

根据两相（α-β）静止坐标向d-q坐标轴投影，可得到Park坐标变换矩阵（旋转变换矩阵）如下，细心观察可以发现该变换矩阵为正交矩阵，所以Park变换本质是正交变换。

  MATLAB/Simulink搭建Park变换仿真模型如下：

  仿真输入为两相αβ及转子角度θ，其中αβ两相正弦波幅值100，角速度2π50，β滞后α相位90°，转子角度θ为角速度2π50乘以时间（与坐标系旋转角速度一致）。

  仿真结果如下，可以看出Park变换后，两相正弦波α-β变为d-q两个直流分量，且此时d=0，q=-100，依然满足幅值不变原则。

反Park变换

反Park变换：d-q同步旋转坐标系到两相（α-β）静止坐标系，dq→αβ（2r→2s），坐标变换公式如下

其中，反Park变换矩阵$T_{2r/2s}$与Park变换矩阵$T_{2s/2r}$互为逆矩阵，Park变换矩阵$T_{2s/2r}$为正交矩阵，所以反Park变换矩阵$T_{2r/2s}$将Park变换矩阵$T_{2s/2r}$转置即可得到。

  MATLAB/Simulink搭建反Park变换仿真模型如下：

  仿真输入为两个直流量（d=0，q=-100）及转子角度θ（2π*50t）,仿真结果如下,可以看出反Park变换正好与Park变换结果相反。