最大团问题及伪代码

给定无向图 G=(V, E)，其中 V 是非空集合，称为顶点集；

E 是 V 中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无 序对常用圆括号“( )”表示。

团： 如果 U ⊆ V ，且对任意两个顶点 u v ∈ U 有 (u, v) ∈ E，则称 U 是 G 的完全子图。

G 的完全子图 U 是 G 的团当且仅当 U 不包含在 G 的更大的完全子图中。

G 的最大团是指 G 中所含顶点数最多的团。

 独立集: 如果 U ⊆ V 且对任意 u v ∈ U 有 (u, v) /∈ E，则称 U 是 G 的空子图。

G 的空子图 U 是 G 的独立集当且仅当 U 不包含在 G 的更大的空子图中。

G 的最大独立集是 G 中所含顶点数最多的独立集。

最大独立集与最大团:

对于任一无向图 G = (V, E)，其补图 G′ = (V ′ , E′ ) 定义为：V ′ = V ，且 (u, v) ∈ E ′ 当且仅 当 (u, v) /∈ E。 如果 U 是 G 的完全子图，则它也是 G′ 的空子图，反之亦然。因此，G 的团与 G′ 的独立 集之间存在一一对应的关系。特殊地，U 是 G 的最大团当且仅当 U 是 G′ 的最大独立集。

Q：

1. 使用深度优先的方法找到上图最大团，写出伪代码

2. 在深度遍历算法的基础上给出进一步改进的方法

 

A:

1.

算法基本思想：

Bron-Kerbosch 算法的基础形式是一个递归回溯的搜索算法，其通过给定三个集合：R、P、X 来递归的进行搜索

初始化集合 R、X 分别为空，集合 P 为所有顶点的集合

每次从集合 P 中取顶点 {vi}，当集合中没有顶点时，有两种情况：

1）集合 R 是最大团，此时集合 X 为空

2）无最大团，此时回溯

对于每一个从集合 P 中取得的顶点 {vi}，有如下处理：

1）将顶点 {vi} 加到集合 R 中，集合 P、X 与顶点 {vi} 得邻接顶点集合 N{vi} 相交，之后递归集合 R、P、X

2）从集合 P 中删除顶点 {vi}，并将顶点 {vi} 添加到集合 X 中

3）若集合 P、X 都为空，则集合 R 即为最大团

总的来看，就是每次从集合 P 中取 vi 后，再从 P∩N{vi} 集合中取相邻结点，保证集合 R 中任意顶点间都两两相邻

 

 

伪代码实现：

BronKerbosch1(R,P,X):

if P and X are both empty:

report R as a maximal clique

for each vertex v in P:

BronKerbosch1(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))

P := P \ {v}

X := X ⋃ {v}

 

2.算法的优化

对于基础的算法，由于其递归搜索了所有情况，对其中有些不是最大团的也进行了搜索，效率不高，为了节省时间让算法更快的回溯，可以通过设定关键点来进行搜索。

 

由于对于任意的最大团，其必须包括顶点 {u} 或 N-N{u}，不然其必然需要通过添加它们来进行扩充，这显然矛盾，所以仅需测试顶点 {u} 以及 N-N{u} 即可。

 

改进算法的伪代码：

BronKerbosch2(R,P,X):

if P and X are both empty:

report R as a maximal clique

choose a pivot vertex u in P ⋃ X

for each vertex v in P \ N(u):

BronKerbosch2(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))

P := P \ {v}

X := X ⋃ {v}