衍生品定价一：远期与期货定价

定价理论

连续复利计算公式

在讲述无套利定价理论之前，先讲一下复利和连续复利。
复利（Compound interest）是指每年的收益还可以产生收益，具体是将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作为下一段计算利息的本金基数。
复利计算公式：F = P*(1+r)^T
其中:
  F表示Future Value，叫终值或未来值，
  P表示Present Value，叫现值或期初金额，
  r为每期利率，T为期数。
连续复利（Continuous compounding）则是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。
连续复利的公式：
$$F=P\ast \underset{n\to \infty }{\lim }(1+r/n{)}^{n\ast T}$$
根据高数知识中两个重要极限公式之一的如下公式：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$
我们可以推导出连续复利公式：
$$F=P\ast \underset{n\to \infty }{\lim }(1+r/n{)}^{n\ast T}=P\ast \underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n/r}{)}^{(n/r)\ast r\ast T}$$
$$=P\ast e^{rT}$$

无套利定价理论

该理论认为，如果两种金融资产未来某一个时点的现金流完全相同，则当前的价格必相同。如果两项资产的价格存在差异，投资者可以通过买低卖高获取无风险收益，即存在套利机会。如果市场是有效的话，市场价格必然由于套利机会做出相应的调整，重新回到均衡的价格状态，套利机会随之消失。
举个例子就是，假如投资者希望在T时获得1单位资产，一种方式是直接购买1单位资产价格为S₀，持有至时间T；另一种方式是持有价格为F₀的以1单位资产为标的的期货合约多头，同时将F₀*e^-rT资金按照无风险利率r贷出，等到时间T，贷出的资金收回F₀*e^-rT*e^rT=F₀，用该资金交割获得1单位资产。
按照无套利定价理论，F₀ * e^-rT= S₀。

持有成本理论

该理论认为，现货价格和期货价格的差由三部分组成：融资利息、仓储费用、持有收益。
F = S + W - R
其中:
  F表示期货价格，
  S表示现货价格，
  W表示持有成本，包括购买现货占用的资金的利息成本、仓储费用、保险费用，
  R表示持有收益，如股票红利、实物商品的便利收益等。便利收益是指当现货对期货产生风险溢价时,投资者持有现货的可能收益。在期货合约有效期间,商品短缺的可能性越大,则便利收益就越高。若商品使用者拥有大量的库存,则在不久将来出现商品短缺的可能性很小,从而便利收益率会比较低。

定价分析

完全市场假设下的定价

权益资产的远期价格

1. 不支持红利的标的
   这是最简单的情形，没有持有收益，持有成本只有购买标的资产所需自己的利息成本。
   此时远期价格公式为：F = S * e^rT （即：按照复利计算持有成本，到期即为期货价格）
   其中：F为远期价格（期货价格），
      S为现货价格，
      T为期货合约到期日，
      r为无风险连续利率。
2. 支付现金红利的标的
   这种情形下，持有期间所获取的现金红利就是持有收益。将持有现货期间所获取的现金红利在初始时点的折现值记为D，则：
   此时远期价格公式为：F = (S - D) * e^rT
3. 支付连续红利率的标的
   假设标的资产获取的连续红利利率为q，持有期间所获取的红利为e^qT,
   此时远期价格公式为 F = S * e^(r-q)T

例子：某投资者签订了一份期限为9个月的沪深300指数远期合约，该合约签订时沪深300指数为3000点，年股息连续收益率为3%，无风险连续利率为6%，则该远期合约的理论点位为多少？
解析：F = S * e^(r-q)T = 3000 * e^(6%-3%)*9/12 = 3068.3 （点）

国债期货的价格

设债券利息在起始时刻的折现值为D，F = (S - D) * e^rT
对于短期国债期货，标的资产通常是零息债券，没有持有收益；
对于中长期国债期货，其标的资产通常是附息票的名义债券，是有持有收益的；

例子：某国债券期合约270天后到期，其标的债券为中期国债，当前净报价为98.36元，息票率为6%，每半年付息一次。上次付息时间为60天前，下次付息为122天以后，再下次付息为305天以后。无风险连续利率为8%，则该国债远期的利率价格为多少？
解析：
首先弄懂什么是净报价。国债净价交易是一种在现券买卖时,以不含有应计利息的价格报价并成交的交易方式。也就是说,将国债成交价格与国债的应计利息分解,让交易价格随行就市,而应计利息则根据票面利率按天计算,从而使国债的持有人享有持有期间应得的利息收入。在净价交易条件下,由于国债交易价格不含有应计利息,其价格形成及变动能够更加准确地体现国债的内在价值,供求关系及市场利率的变动趋势。

国债的价格公式为：国债的全价=净价+当期利息
本例中，息票率6%，每半年付息一次，则半年的利率是3%， 本次的付息周期是60+122天，已经过了60天，那么应记利息是 100 * (60/(60+122)*3%) = 0.99元, 其中100是国债的票面金额，应计利息是按照票面金额和票面利息来算的。

所以当前国债现货价格 S = 98.36 + 0.99 = 99.35 （元）

合约期内标的债券获取的利息在起始时刻的折现值计算公式为：D = L * e^-rt, 其中L为所获利息，r为无风险利率，t为获取利息的时刻与起始时刻的时间差。
本例中，D = (100 * 3%) * e^-8%*122/365 = 2.92 （元）

所以， F = (S - D) * e^rT = (99.35 - 2.92) * e^8%*270/365 = 102.31 （元）

商品期货的价格

商品往往存在存储成本和便利收益，设存储成本率为u，便利收益率为z，u和z都按连续复利算，则商品期货的定价公式为：
F = S * e^(r+u-z)*T

例子：假设某螺纹钢期货还有90天到期，目前螺纹钢现货价格为每吨2200元，无风险连续利率为8%，储存成本为2%，便利收益率为3%，则该螺纹钢期货的理论价格是多少？
解析：F = S * e^(r+u-z)*T = 2200 * e^{(8%+2%-3%)*90/365} = 2441.78 （元/吨）
当然，如果螺纹钢到期的90天按照月来算的话， 是12个月中的3个月， 所以90/365 也可以写成 3/12,
2200 * e^{(8%+2%-3%)*3/12} = 2442.4 （元/吨）

外汇期货的价格

外汇的持有收益率就是该外汇发行国的无风险利率，记为r_F，本国无风险利率记为r_D，则远期汇率F和即期汇率S的关系为：
$$F=S\ast e^{(r_D-r_F)\ast T}$$

例子：假设美元兑英镑的外汇期货合约距到期日还有6个月，当前美元兑英镑即期汇率为1.5USD/GBP，而美元和英国的无风险利率分别是3%和5%，则该外汇期货合约的理论价格（远期汇率）是多少？
F = 1.5 * e^(3%-5%)*6/12 = 1.485 (USD/GBP)

不完全市场假设下的定价

在现实中，完全市场的一些假设无法得到满足，持有成本模型将会从定价公式变为定价区间，下面以不支付红利的权益类资产的期货定价为例进行说明。

存在交易成本

假定每笔交易的费率为Y，那么期货的定价区间为[S*(1-Y)e^rT, S(1+Y)*e^rT]， 这个区间称为无套利区间。当期货价格高于区间上限时，可以买入现货同时卖出期货进行套利；当期货价格低于区间时，可以买入期货同时卖出现货进行套利。

借贷利率的不同

设借款利率为r_b, 贷款利率为r_l，对于非银机构的一般投资者来说，期货的价格区间为：
$$[S\ast (1-Y)\ast e^{r_{l}T},S\ast (1+Y)\ast e^{r_{b}T}]$$
当现货资产存在卖空限制时，设卖空现货需要的保证金是卖空量的一个固定比例K，那么期货的价格区间为$$[(1-K)\ast S\ast (1-Y)\ast e^{r_{l}T},S\ast (1+Y)\ast e^{r_{b}T}]$$

例子：假设黄金现货价格为500美元，借款利率为8%，贷款利率为6%，交易费率为5%，卖空黄金的保证金12%。求1年后交割的黄金期货的价格区间。
解析：价格区间上限为 500 * (1+5%) * e^0.08 = 568.7 (美元)
价格区间下限为 (1-12%) * 500 * (1-5%) * e^0.06 = 443.8 (美元)
所以价格区间为[443.8, 568.7]