图（拓扑排序和关键路径）

一：何谓“拓扑排序”？
假设以有向图表示一个工程的施工图或程序的数据流图（AOV网），则图中不允许出现回路。
检查有向图中是否存在回路的方法之一，是对有向图进行拓扑排序。
对有向图进行如下操作：
按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成一个线性序列，对于有向图中没有限定次序关系的顶点，则可以人为加上任意的次序关系。由此所得顶点的线性序列称之为拓扑有序序列。
二：如何进行拓扑排序？
一、从有向图中选取一个没有前驱
        的顶点，并输出之；

二、从有向图中删去此顶点以及所
        有以它为尾的弧；
重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。

拓扑排序算法

总是删除入度为 0 的顶点并输出之。

注意：拓扑排序的结果不一定是唯一的。

 

2.2 关键路径

 

问题:

假设以有向网表示一个施工流图，弧上的权 值表示完成该项子工程所需时间。

问：哪些子工程项是 “ 关键工程 ” ？

即：哪些子工程项将影响整个工程的完成期 限的。

用边表示活动的网络 (AOE 网络 )

l 如果在 无有向环的带权有向图 中

•   用有向边表示一个工程中的各项活动 (Activity)

•   用边上的权值表示活动的持续时间 (Duration)

•   用顶点表示事件 (Event)

   则这样的有向图叫做用边表示活动的网络，简 称 AOE (Activity On Edges) 网络。

　AOE网络在某些工程估算方面非常有用。例如，可以使人们了解：

    (1) 完成整个工程至少需要多少时间

    (2) 为缩短完成工程所需的时间, 应当加快哪些活动? 

AOE 网(活动在边上)，边代表活动或任务，顶点代

表事件。

l 在AOE网络中, 有些活动顺序进行，有些活

动并行进行

l 事件i发生后，其后继活动a(i,*)都可以开始

只有所有先导活动a(*,j)都结束后，事件j才

发生。

整个工程完成的时间为 ：从有向图的 源点 到 汇点 的最长路径。

例如:

 

“ 关键活动 ” 指的是 ：该弧上的 权值增加 将使有向图上的 最长路径的长度增加。

从源点到各个顶点，以至从源点到汇点的有向 路径可能不止一条。这些路径的长度也可能不 同。完成不同路径的活动所需的时间虽然不 同，但只有各条路径上所有活动都完成了，整 个工程才算完成。

因此，完成整个工程所需的时间取决于从源点 到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有 活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路 径就叫做 关键路径 (Critical Path) 。

要找出关键路径，必须找出 关键活动 ，即不按期完成就会影响整个工程完成的活动。关键路径上的所有活动都是关键活动。因此，只要找到了关键活动，就可以找到关键路径

三：关键路径具体算法如下：

 

算法的实现要点 :

显然，求 ve 的顺序应该是 按拓扑有序 的 次序 ；

 

而求 vl 的顺序应该是拓扑有序序列的逆序列即 拓 扑逆序 的 次序 ；

因此，应该在拓扑排序的过程中，另设一个 “ 栈 ” 记下拓扑有序序列。

      在拓扑排序求 Ve[i] 和逆拓扑有序求 Vl[i] 时 , 所 需时间为   O(n+e) ,  求各个活动的 e[k] 和 l[k] 时所需 时间为 O(e) , 总 共花费时间仍然是 O(n+e) 。