时间复杂度

1. 返回的评测结果

Accepted: 答案正确。恭喜，您通过了这道题。

Wrong Answer: 答案错误。仅仅通过样例数据的测试并不一定是正确答案，一定还有你没想到的地方。

Runtime Error: 运行时错误。像数组越界，指针漂移，无穷递归都可能出现这类问题。

Time Limit Exceeded: 时间超限。请检查程序是否有死循环，或者应该有更快的计算方法。

Memory Limit Exceeded: 内存超限。数据可能需要压缩，或者您数组开太大了，请检查是否有内存泄露。

Output Limit Exceeded: 输出超限。你的输出居然比正确答案长了N倍！

Unknown Error: 评测失败。可能是没有数据，反正不一定是你的锅啦！

2. 概念

• 算法分析是指通过数学方法对一个算法的
  时间效率和空间效率经行评估，并判断该
  算法的优劣。
• 如果算法A的时空复杂度均低于算法B，那
  么我们认为算法A优于算法B。
• 有时也有以空间换时间或者以时间换空间
  的算法，比如暴搜和记忆化搜索，前者是
  以时间换空间的算法，而后者是以空间换
  时间。

3. 时间复杂度

• 时间复杂度，从名字就可以知道，它表示
  的是算法运行的时间效率。
• 一个算法运行所耗费的时间，除了与所用
  的计算软、硬件环境有关外，主要取决于
  算法中指令重复执行的次数，即语句的频
  度相关。
• 一个算法中所有语句的频度之和构成了该
  算法的运行时间。

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
    		x++;

• 这段代码在运行时，每一种语句的频度如下：
• 频度为N^2: x++, j++, j ≤ N
• 频度为N: i++, i ≤ N
• 频度为1: i =1, j =1
• 算法的总复杂度为O(3N²+ 2N + 2)，由于当N特别大时，O(N)和O(N²)相比，时间基本可以忽略。所以对于一个算法而言，我们只保留多项式的最高项，此例中为O(3N²)。通常情况下，为了简化多项式，我们不会保留常数，所以这段代码最终的时间复杂度为O(N^2)。这也就是这个算法的渐进时间复杂度。

3.1. 要记住的标准

• 既然是为了判断代码运行效率的优劣，各个时间复杂度之间自然就有
  了大小比较关系，通常在N相对比较大的情况下：

O(1) ＜ O(logN) ＜ O(N) ＜ O(N^2) ＜ O(2^N) ＜ … ＜ O(N^N) ＜ …

1. O(1)：表示复杂度为常数。(常数级)
2. O(N)：表示复杂度为N。(线性级)
3. O(N^i)：Ni 表示N的i次幂。(多项式级)
4. O(sqrt(N))：表示根号N，即N开方。(多项式级)
5. O(logN)：表示以2为底数N的对数。(对数级)
6. O(i^N)：表示i的N次幂。(指数级)
7. O(N!)：表示N的阶乘，即N! = 1 * 2 * 3 * … * N。(阶乘级)

3.2. 扩展

• 通常情况下递归算法的复杂度为多项式级、指数级或者阶乘级，比如给定排成一列的N个格子，每一个格子可以填1…N的任意一个，求不重复的一共有多少种，那么用递归一位一位的枚举，复杂度就是O(N^N)；如果规定数字不能重复，复杂度就是O(N!)；再规定每一位要么填1，要么填0，复杂度就变成了O(2^N)。具体的代码相信你能够写出来，这里就不再写了。
• 另外还有均摊时间复杂度，以单调队列为例，每一次进如队列和退出队列的变量个数并不一定，最多可能有刚好N个变量。但是从整个算法上来分析，每一个变量一定只进队一次，出队一次。所以总的时间复杂度不是O(N^2)而是O(N)。一般来说，均摊时间复杂度需要有严格的证明，而这个证明多数很麻烦。在临场考试时我们就只能大胆猜测，对拍求证了。

3.3. 考试时的参考

我们知道，考试时1s的运行次数是10^8次，
那么我们就要根据数据规模来判断算法。

• 如果数据规模在100以内，三重循环就不会超时。
• 如果数据规模在9000以内，二重循环就不会超时。
• 如果数据规模在10000以上，你的程序就必须要考虑1重循环了。

4. 空间复杂度

空间复杂度指的是实现算法的空间开销，同样使用多项式来表示。最主要的体现就是数组，数组的大小即为该算法的空间复杂度。

4.1. 计算机基本计量单位

计算机最基本单位为字节 (B)，一个int 数据占 4个B。

1024 B=2^10 B =1KB
1024KB=2^20B =1MB
1024 MB=2^30 B =1GB

50M 的内存限制可以定义50*1024*1024 /4 个 int变量 约等于 1000万长度的int数组

4.2. 一般的估算

说到空间复杂度，其实主要担心就是会不会爆内存。这里有一个很简单的方法就可以确定：在C/C++里面有sizeof()这个函数(Pascal里面应该也有)，它返回的是变量的字节数，比如说sizeof(int)，就会告诉你int所占用的空间大小；sizeof(a)，其中a是一个数组，这时返回的就是数组a的总空间大小。对于一个已经写好的程序，我们把它所有静态数组的sizeof()全部加起来，然后除上10^6，得到的数字就是所占用的静态内存MB数，有没有爆内存自然一目了然。

5. 各个算法时间复杂度

5.1 数据结构

5.2 排序

5.3 图操作

5.4 堆操作