【原创】有关线段树的懒标记的讨论

lazy

Preface

数据结构学复习Part 2。
Part 1是树状数组，但因为我语文不好写一半不写了。

线段树方面只再解决四个问题，其一便是懒标记；其二是多维线段树；其三动态开点；最后是可持久化。
（其五是链剖？）

为什么需要懒标记

（原标题： 震惊！线段树过了大样例却TLE爆零是怎么回事，背后真相曝光，居然是这样！）

这是一道需要单点修改、区间修改、单点查询、区间查询的数据结构题，每次都询问你最值或者和或者极差之类的。

反正用线段树很容易做。
然后出题人每次操作都区间修改[1,n]，区间查询[1,n]。
结果就是你每次都必须要把整棵线段树都修改一遍。

再比如说区间翻转，把一个区间给reverse或者都乘以-1，这些操作有一个非常鲜明的特点，你翻转两次就会翻转回来，所以你翻转一次就好了。那如果你乖乖的，出题人给你什么你就做什么，把整棵树跑了$m$次，下来一看，诶，你们怎么这么快？什么？你们只做了一次？

懒标记是什么 懒标记怎么做

（原标题：最新！懒标记具体什么情况，懒标记有什么亮点）

懒标记，顾名思义是一种标记。

嗯。然后呢？

打了这个标记人就会变懒。

嗯。懒在什么地方？

你的线段树就会懒得修改。

嗯。什么叫懒得修改？

就是咕咕咕的意思。
我让你这个学生做数学作业，你放在一边，暂时不做，等到我老师要来收作业了，你才做。
我让你这个区间区间加上数，你打个标记，暂时不加，等到我上层要来拜访我了，你才加。

嗯。看起来懒标记不是好学生的亚子。咕咕咕有什么用呢？

这样就会节省下很多时间。比方说你就可以把很多次加法变成一次加法，或者把奇数次翻转变成一次翻转，把偶数次忽略。

嗯。为什么可以这么做呢？

如果我们想要修改某个点或者区间，我们一定会访问到其上层的某个较大的区间，假设修改在那个大点的区间被咕咕咕了，被搁置了；这个小点的区间就没有被修改到。
那么我们对这个小区间的查询和再次修改会不会有影响呢？答案是不会的。因为我们想要访问到这个小点的区间，一定会途径那个咕咕咕的大区间，那个大区间就一定会把它累积的修改实施。

嗯。怎么个实施法呢？

接上文，我们在那个大区间里进行了修改操作，必然会影响到大区间的左右两个儿子。但我们之后往下走到这个小区间，这只会走其中的一个儿子；继续往下走的时候，发现总有一个儿子不被访问。（其实不一定，那你就假设“这个小区间”是一个点吧）
所以就相当于每个区间把懒标记传给了两个儿子，只是区别在于我访问完这个区间之后，我会走这两个儿子中的哪些个罢了。

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嗯。嗯……你到底在说什么？你不是一度的语文年级前几班级第一吗？

那是你那不是我。

嗯……那你去找物管啊，不是，去找语文老师补习语文啊。你是不是数论写多了就不会说人话了啊？

不管了，反正我的博客只要我自己一个人看懂就好了。

嗯，那你根本不要写这个过于水的内容啊。已经理解了就直接skip啊。浪费时间，解心疑。

……

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不同类型的懒标记与多个懒标记的优先度问题

嗯……好花里古哨，不是，花里胡哨的标题啊。

前文也有说过，什么加减乘除翻转都可以懒标记。
但是比方说洛谷的线段树模板2，就有了加法和乘法两种修改。

我们假设这个区间$p$已经被打上了$p\times a+b$的懒标记。
就是说$\mathbf{p}$先乘a再加b。
现在假设我们要让这个区间加上数$x$，很简单，把加法懒标记$+b$改成$+(b+x)$。
现在假设我们要让这个区间乘上数$y$，也很简单，$(p\ast a+b+x)\ast y=p\ast a\ast y+(b+x)\ast y$，即把乘法懒标记和加法懒标记都乘上$y$。
（两个一起来？没关系，这种情况只会发生在懒标记下传的时候，而传过来的懒标记也一定是先乘再加的，所以就先乘再加咯）

那么先加再乘呢，即$(p+a)\times b$的情况？
乘法，乘上$y$，那么显然乘法懒标记乘上$y$即可。
加法，加上$x$？$(p+a)\times b+x$，该怎么把$x$塞到$+a$和$\times b$里面？

方案一： 不放，直接pushdown掉。

这样肯定不优，我只要一加一乘一加一乘你就没有懒标记了。

方案二：这不是伤疤问题吗？$(p+a)\times b+x=(p+a)\times b+(\frac{x}{b})\times b=(p+a+\frac{x}{b})\times b$，所以我们把$+a$加上$\frac{x}{b}$就好了。

浮点数您敢用吗？

这就解决了所谓的优先度问题，先乘后加。

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落实到具体的代码实现时才发现我一直在避开一个重要的问题——

懒标记的意义到底是什么，下传的时候，到底是更新我还是我的子区间？
我存的懒标记，是我没经历过的还是我经历过的？

这个问题似乎应该在线段树1里解决，谁叫我用的树状数组呢？
这个跟你pushup和pushdown的逻辑与时机有关。

网上多是后者，就是我手里篡着的懒标记是我已经用了的，所谓的停滞是更新到我这里就不再往下更新了。
然后线段树的时候，如果访问到某个点，下传懒标记，递归左右子区间，更新自己的值。
因为左右儿子已经被更新过了，所以我这个区间的值也能够正确算出来了。

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代码就可以敲了。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long ll;
inline void Read(ll &p)
{
	p=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9') c=getchar();
	while(c>='0' && c<='9')
		p=p*10+c-'0',c=getchar();
}

inline void Read(int &p)
{
	p=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9') c=getchar();
	while(c>='0' && c<='9')
		p=p*10+c-'0',c=getchar();
}

const int MAXN=102030;
int n,q,opt,u,v,arr[MAXN];
ll p,w,sum[MAXN<<2],laa[MAXN<<2],lat[MAXN<<2];//lazy_add lazy_times
#define lson pos<<1
#define rson pos<<1|1
#define mid ((lef+rig)>>1)

inline void pushdown(int pos,int lef,int rig)
{
	(((sum[lson]*=lat[pos])%=p)+=laa[pos]*(mid-lef+1)%p)%=p,((lat[lson]*=lat[pos])%=p,((laa[lson]*=lat[pos])%=p)+=laa[pos])%=p;
	(((sum[rson]*=lat[pos])%=p)+=laa[pos]*(rig-mid)%p)%=p,((lat[rson]*=lat[pos])%=p,((laa[rson]*=lat[pos])%=p)+=laa[pos])%=p;
	lat[pos]=1,laa[pos]=0;
}

inline void pushup(int pos){sum[pos]=(sum[lson]+sum[rson])%p;}

void build(int pos,int lef,int rig)
{
	if(lef==rig) {sum[pos]=arr[mid]%p,lat[pos]=1; return ;}
	build(lson,lef,mid),build(rson,mid+1,rig),lat[pos]=1,pushup(pos);
}
//Gauche Droit
void add(int pos,int lef,int rig,int gau,int dro,ll del)
{
	if(rig<gau || dro<lef) return ;
	if(gau<=lef && rig<=dro) {(sum[pos]+=del*(rig-lef+1)%p)%=p,(laa[pos]+=del)%=p; return;}
	pushdown(pos,lef,rig),add(lson,lef,mid,gau,dro,del),add(rson,mid+1,rig,gau,dro,del),pushup(pos);
}

void times(int pos,int lef,int rig,int gau,int dro,ll del)
{
	if(rig<gau || dro<lef) return ;
	if(gau<=lef && rig<=dro) {(sum[pos]*=del)%=p,(lat[pos]*=del)%=p,(laa[pos]*=del)%=p; return;}
	pushdown(pos,lef,rig),times(lson,lef,mid,gau,dro,del),times(rson,mid+1,rig,gau,dro,del),pushup(pos);
}

ll query(int pos,int lef,int rig,int gau,int dro)
{
	if(rig<gau || dro<lef) return 0;
	if(gau<=lef && rig<=dro) return sum[pos];
	pushdown(pos,lef,rig);
	ll al=query(lson,lef,mid,gau,dro),ar=query(rson,mid+1,rig,gau,dro);
	pushup(pos);
	return (al+ar)%p;
}

int main() 
{
	Read(n),Read(q),Read(p);
	for(int i=1;i<=n;i++) Read(arr[i]);
	build(1,1,n); 
	while(q--) 
	{
		Read(opt);
		if(opt==1) Read(u),Read(v),Read(w),w%=p,times(1,1,n,u,v,w);
		else if(opt==2) Read(u),Read(v),Read(w),w%=p,add(1,1,n,u,v,w);
		else Read(u),Read(v),printf("%lld\n",query(1,1,n,u,v));  
	}
}

双倍经验【AHOI2009】维护数列，看上去好像只需要改一下q的读入位置就可以原样交了，但是不知道为什么交不起，双倍经验失败。

说在后面

我学信息的转折点在于秒掉了读入优化。
以及后续的若干事情。

后续的若干事情说出来不太好，就不说了。

至少这些后续的很多事情（以及OF-EX-4）让我明白了让事情变成难题的唯一原因只有你以为它是难题。
(不是，有些东西你要意识到是真的不可做是真的难，但至少这些你得干掉的东西你就不要怕，微笑着面对它，消除恐惧……)

与线段树无关。

我只是像决斗前的伽罗瓦一样疯狂留下自己的笔墨罢了。
而且好多笔墨我已经决定尘封了，就算不尘封也写不出写不完了。

嗯……

一嗯胜千言。

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那就讲个笑话吧。

经过了树剖的洗礼我的线段树码风和思路都大改，可是我的整体码风却没有收到冲击仍然差不多，这是为什么？
是因为我融会贯通了？
不是！是因为在此之前我基本上没用过线段树！第一次真正的用是在NOIP2018DAY1T1！
在此之后，我就成了自诩线段树大尸了。

说在说在后面

我寻思也才过两天吧，我咋就不知道“我学信息的转折点是在于秒掉了读入优化以及后续的一些事情”，后续的什么事情啊？
中考吗？
忘了忘了，一觉起来全忘了。