圆锥体积公式的推导过程（Formula Derivation of Cone's volume）

今天心血来潮，竟然花了半天时间用无限分割法（将圆锥分成n段，每一段的体积用圆柱来近似）证明圆锥的体积公式：V=1/3π*r^2*h。过程是曲折的，结果是成功的。
小结经验如下：
1. 画出示意图（圆锥草图，分成4份，便于演算过程中及时验证)
2. 标注通项，如，每一段的名称：[(k-1)/n, k/n]，每一段的半径r(k-1)/n=r(1-(k-1)/n)）
3. 计算每一段圆柱的体积：π(r(k-1)/n)^2h=πr^2h((n+1)^2-2(n+1)k+k2)/n^3)
4. 将分割而成的n段圆柱体积相加，涉及平方和级数（1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6）和高斯求和（1+2+3+...+n=n(n+1)/2）

5. 经过求和运算，第三步中的(n+1)^2-2(n+1)k两项相互抵消，只剩n(n+1)(2n+1)/6这一项，当n趋近于正无穷时，其极限为1/3.

6. 因此，推导出圆锥体积公式为：V=1/3π*r^2*h

 

备注：在百度及Yahoo上搜索了半天，还真没发现那个方法和我的方法相同的。回头一看，这个证明其实并没有多难，只用高中知识即可。