时间复杂度以及空间复杂度

　　为了编写出一个“好”程序，必须分析待处理的对象的特征以及各处理对象之间存在的关系。一般来说，用计算机解决一个具体问题时，大致需要以下几个步骤：首先要从具体的问题抽象出一个适当的数学模型，其次设计一个解决该数学模型的算法，编写出程序，并进行测试、调整直至得到最终解答。寻求数学模型的实质是分析问题，从中提取操作的对象，并找出这些操作对象之间的关系，然后用数学加以描述。 因此，我们可以说程序设计=数据结构+算法。下面我们来了解一下数据结构的基本概念。

基本概念

• 数据(data)：对客观事物的符号的表示，在计算机科学中是指所有能输入到计算机，并被计算机程序识别处理的符号的总称。
• 数据元素(data element)：数据的基本单位，在计算机程序中通常作为整体进行考虑和处理。
• 数据对象(data oject)：是性质相同的数据元素的集合，是数据的一个子集。
• 数据项(data item)：一个数据元素可以由若干个数据项组成。数据项是数据的不可分割的最小单位。

数据结构

数据结构：是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

物理结构

顺序结构：数据元素存放在地址连续的单元中，数据的逻辑关系和物理关系是一致的。
链式结构：数据元素存放在任意的存储单元中，存储单元可以连续也可以不连续。

时间复杂度

衡量一个算法是不是好算法，要看它的效率。在实际中通常关注的是算法的最坏运行情况，即：任意输入规模N，算法的最长运行时间。因为：

• 一个算法的最坏情况的运行时间是在任意输入下的运行时间的上限。
• 对于某些算法，最坏的运行情况出现的比较频繁。
• 大体上看，平均情况与最坏情况的运行时间基本一样差。

因此：一般情况下使用O渐近表示法来计算算法的时间复杂度。

O渐近表示法：算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，算法的时间量度记作T(n)=O(f(n)),它表示随问题规模n的增大，算法的执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称O(f(n))为算法的渐近时间复杂度，即时间复杂度的O渐近表示法。

时间复杂度简单来说就是语句执行的次数。O渐进表示法是控制变化因素，估算n趋于无穷大的情况，是一个估算值。
O(n)的一般计算方法：
1. 数执行语句的次数，遇到循环用乘法，顺序执行用加法；
2. 用O括起来，即O();
3. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数；
4. 扔掉低阶，保留最高阶；
5. 将留下的最高阶的系数换为1。

空间复杂度

空间复杂度：函数中创建对象的个数与问题规模n的函数表达式，一般采用O渐近表示法。其计算步骤与时间复杂度的计算相同，计算的是创建变量的个数。
我们先来看下面这段程序的时间复杂度和空间复杂度。

void test(int n)
{
    int count = 0;
    int i = 0;
    for(i=0;i<10;i++)
    {
        count++;
    }
}

时间复杂度：该程序中有一个for循环，执行的次数为10次，其执行的次数与n无关，根据时间复杂度的计算方法可得该程序的时间复杂度为O(1)。
空间复杂度：该程序从头到尾创建了两个变量，且与n的大小无关，故该程序的空间复杂度为O(1)。

void test(int n)
{
    int count = 0;
    int i = 0;
    for(i=0;i<10;i++)
    {
        count++;
    }
    for(i=0;icount++;
    }
}

时间复杂度：这段程序有两个for循环，执行的总次数为2*n+10，其时间复杂度为O(n)。
空间复杂度：该程序从头到尾创建了两个变量，且与n的大小无关，故该程序的空间复杂度为O(1)。

二分查找的时间复杂度和空间复杂度

int Binary_Search(int arr[],int key,int sz)
{
    int left = 0;
    int mid = 0;
    int right = sz-1;
    while(left<=right)
    {
        mid = left + (right-left)/2;
        if(arr[mid] == key)
        {
            return mid;
        }
        else if(arr[mid] > key)
        {
            right = mid-1;
        }
        else
        {
            left = mid+1;
        }
    }
    return -1;
}

　　二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取arr[n/2]与key做比较，如果key=arr[n/2]则找到key算法中止；如果key< arr[n/2]，则只要在数组arr的左半部分继续搜索key；如果key>arr[n/2]，则只要在数组arr的右半部搜索key。

时间复杂度：
时间复杂度无非就是while循环的次数！总共有n个元素，渐渐跟下去就是n,n/2,n/4,….n/2^k（接下来操作元素的剩余个数），其中k就是循环的次数。由于n/2^k取整后>=1，即令n/2^k=1，可得k=log2n,(以2为底，n的对数)，所以时间复杂度可以表示为O(log2n)。
空间复杂度：
函数中创建对象的个数为常数级别，与n的变化无关，因此二分查找的空间复杂度为O(1)。

斐波那契数列的时间复杂度和空间复杂度

//递归实现
int fib(int n)
{
    if(n<=2)
        return 1;
    else
        return fib(n-1)+fib(n-2);
}

时间复杂度：
斐波那契数列的求取过程如图所示，相当于二叉树，且为非满树。求取其时间复杂度相当于求树的分支，故斐波那契数列递归实现的时间复杂度为O(2n) (2的n次方)。
空间复杂度：
求取斐波那契数列的空间复杂度相当于求递归的深度，即树的深度，故斐波那契数列递归实现的空间复杂度为O(n)。

//非递归
int fib(int n)
{
    int pre = 0;
    int cur = 0;
    int next = 0;   
    cur = pre = 1;
    while(n>2)
    {
        next = pre+cur;
        pre = cur;
        cur = next;
        n--;
    }
    return cur;
}

时间复杂度：
斐波那契数列的非递归实现的时间复杂度为while循环的次数，其时间复杂度可表示为O(n)。
空间复杂度：
求取斐波那契数列的非递归实现的空间复杂度，在函数中创建的对象个数为常数级，与n的大小无关，因此其空间复杂度为O(1)。

常见算法的时间复杂度和空间复杂度

总结

1. 求普通递归的时间复杂度时，采用递归的方式求取。
2. 斐波那契数列的时间复杂度为二叉树的个数；
   斐波那契数列的时间复杂度为函数调用栈的次数即二叉树的深度。