STL源码剖析---红黑树原理详解上

一、红黑树概述
红黑树和我们以前学过的AVL树类似，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。不过自从红黑树出来后，AVL树就被放到了博物馆里，据说是红黑树有更好的效率，更高的统计性能。这一点在我们了解了红黑树的实现原理后，就会有更加深切的体会。
红黑树和AVL树的区别在于它使用颜色来标识结点的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL树中的非常严格的平衡。学过数据结构的人应该都已经领教过AVL树的复杂，但AVL树的复杂比起红黑树来说简直是小巫见大巫，红黑树才是真正的变态级数据结构。
由于STL中的关联式容器默认的底层实现都是红黑树，因此红黑树对于后续学习STL源码还是很重要的，有必要掌握红黑树的实现原理和源码实现。
红黑树是AVL树的变种，红黑树通过一些着色法则确保没有一条路径会比其它路径长出两倍，因而达到接近平衡的目的。所谓红黑树，不仅是一个二叉搜索树，而且必须满足一下规则：
1、每个节点不是红色就是黑色。
2、根节点为黑色。
3、如果节点为红色，其子节点必须为黑色。
4、任意一个节点到到NULL（树尾端）的任何路径，所含之黑色节点数必须相同。
上面的这些约束保证了这个树大致上是平衡的，这也决定了红黑树的插入、删除、查询等操作是比较快速的。 根据规则4，新增节点必须为红色；根据规则3，新增节点之父节点必须为黑色。当新增节点根据二叉搜索树的规则到达其插入点时，却未能符合上述条件时，就必须调整颜色并旋转树形，如下图：

假设我们为上图分别插入节点3、8、35、75，根据二叉搜索树的规则，插入这四个节点后，我们会发现它们都破坏了红黑树的规则，因此我们必须调整树形，也就是旋转树形并改变节点的颜色。
二、红黑树上结点的插入
在讨论红黑树的插入操作之前必须要明白，任何一个即将插入的新结点的初始颜色都为红色。这一点很容易理解，因为插入黑点会增加某条路径上黑结点的数目，从而导致整棵树黑高度的不平衡。但如果新结点的父结点为红色时（如下图所示），将会违反红黑树的性质：一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。这时就需要通过一系列操作来使红黑树保持平衡。

为了清楚地表示插入操作以下在结点中使用“新”字表示一个新插入的结点；使用“父”字表示新插入点的父结点；使用“叔”字表示“父”结点的兄弟结点；使用“祖”字表示“父”结点的父结点。插入操作分为以下几种情况：
1、黑父
如下图所示，如果新节点的父结点为黑色结点，那么插入一个红点将不会影响红黑树的平衡，此时插入操作完成。红黑树比AVL树优秀的地方之一在于黑父的情况比较常见，从而使红黑树需要旋转的几率相对AVL树来说会少一些。

2、红父
如果新节点的父结点为红色，这时就需要进行一系列操作以保证整棵树红黑性质。如下图所示，由于父结点为红色，此时可以判定，祖父结点必定为黑色。这时需要根据叔父结点的颜色来决定做什么样的操作。青色结点表示颜色未知。由于有可能需要根结点到新点的路径上进行多次旋转操作，而每次进行不平衡判断的起始点（我们可将其视为新点）都不一样。所以我们在此使用一个蓝色箭头指向这个起始点，并称之为判定点。

2.1 红叔
当叔父结点为红色时，如下图所示，无需进行旋转操作，只要将父和叔结点变为黑色，将祖父结点变为红色即可。但由于祖父结点的父结点有可能为红色，从而违反红黑树性质。此时必须将祖父结点作为新的判定点继续向上（迭代）进行平衡操作。

需要注意的是，无论“父节点”在“叔节点”的左边还是右边，无论“新节点”是“父节点”的左孩子还是右孩子，它们的操作都是完全一样的（其实这种情况包括4种，只需调整颜色，不需要旋转树形）。
2.2 黑叔
当叔父结点为黑色时，需要进行旋转，以下图示了所有的旋转可能：
Case 1:

Case 2:

Case 3:

Case 4:

可以观察到，当旋转完成后，新的旋转根全部为黑色，此时不需要再向上回溯进行平衡操作，插入操作完成。需要注意，上面四张图的“叔”、“1”、“2”、“3”结点有可能为黑哨兵结点。
其实红黑树的插入操作不是很难，甚至比AVL树的插入操作还更简单些。红黑树的插入操作源代码如下：

// 元素插入操作  insert_unique()
// 插入新值：节点键值不允许重复，若重复则插入无效
// 注意，返回值是个pair，第一个元素是个红黑树迭代器，指向新增节点
// 第二个元素表示插入成功与否
template
pair::iterator , bool>
rb_tree::insert_unique(const Value &v)
{
	rb_tree_node* y = header;    // 根节点root的父节点
	rb_tree_node* x = root();    // 从根节点开始
	bool comp = true;
	while(x != 0)
	{
		y = x;
		comp = key_compare(KeyOfValue()(v) , key(x));    // v键值小于目前节点之键值？
		x = comp ? left(x) : right(x);   // 遇“大”则往左，遇“小于或等于”则往右
	}
	// 离开while循环之后，y所指即插入点之父节点（此时的它必为叶节点）
	iterator j = iterator(y);     // 令迭代器j指向插入点之父节点y
	if(comp)     // 如果离开while循环时comp为真（表示遇“大”，将插入于左侧）
	{
		if(j == begin())    // 如果插入点之父节点为最左节点
			return pair(_insert(x , y , z) , true);
		else     // 否则（插入点之父节点不为最左节点）
			--j;   // 调整j，回头准备测试
	}
	if(key_compare(key(j.node) , KeyOfValue()(v) ))
		// 新键值不与既有节点之键值重复，于是以下执行安插操作
		return pair(_insert(x , y , z) , true);
	// 以上，x为新值插入点，y为插入点之父节点，v为新值

	// 进行至此，表示新值一定与树中键值重复，那么就不应该插入新值
	return pair(j , false);
}

// 真正地插入执行程序 _insert()
template
typename::_insert(base_ptr x_ , base_ptr y_ , const Value &v)
{
	// 参数x_ 为新值插入点，参数y_为插入点之父节点，参数v为新值
	link_type x = (link_type) x_;
	link_type y = (link_type) y_;
	link_type z;

	// key_compare 是键值大小比较准则。应该会是个function object
	if(y == header || x != 0 || key_compare(KeyOfValue()(v) , key(y) ))
	{
		z = create_node(v);    // 产生一个新节点
		left(y) = z;           // 这使得当y即为header时，leftmost() = z
		if(y == header)
		{
			root() = z;
			rightmost() = z;
		}
		else if(y == leftmost())     // 如果y为最左节点
			leftmost() = z;          // 维护leftmost()，使它永远指向最左节点
	}
	else
	{
		z = create_node(v);        // 产生一个新节点
		right(y) = z;              // 令新节点成为插入点之父节点y的右子节点
		if(y == rightmost())
			rightmost() = z;       // 维护rightmost()，使它永远指向最右节点
	}
	parent(z) = y;      // 设定新节点的父节点
	left(z) = 0;        // 设定新节点的左子节点
	right(z) = 0;       // 设定新节点的右子节点
	// 新节点的颜色将在_rb_tree_rebalance()设定（并调整）
	_rb_tree_rebalance(z , header->parent);      // 参数一为新增节点，参数二为根节点root
	++node_count;       // 节点数累加
	return iterator(z);  // 返回一个迭代器，指向新增节点
}


// 全局函数
// 重新令树形平衡（改变颜色及旋转树形）
// 参数一为新增节点，参数二为根节点root
inline void _rb_tree_rebalance(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)
{
	x->color = _rb_tree_red;    //新节点必为红
	while(x != root && x->parent->color == _rb_tree_red)    // 父节点为红
	{
		if(x->parent == x->parent->parent->left)      // 父节点为祖父节点之左子节点
		{
			_rb_tree_node_base* y = x->parent->parent->right;    // 令y为伯父节点
			if(y && y->color == _rb_tree_red)    // 伯父节点存在，且为红
			{
				x->parent->color = _rb_tree_black;           // 更改父节点为黑色
				y->color = _rb_tree_black;                   // 更改伯父节点为黑色
				x->parent->parent->color = _rb_tree_red;     // 更改祖父节点为红色
				x = x->parent->parent;
			}
			else    // 无伯父节点，或伯父节点为黑色
			{
				if(x == x->parent->right)   // 如果新节点为父节点之右子节点
				{
					x = x->parent;
					_rb_tree_rotate_left(x , root);    // 第一个参数为左旋点
				}
				x->parent->color = _rb_tree_black;     // 改变颜色
				x->parent->parent->color = _rb_tree_red;
				_rb_tree_rotate_right(x->parent->parent , root);    // 第一个参数为右旋点
			}
		}
		else          // 父节点为祖父节点之右子节点
		{
			_rb_tree_node_base* y = x->parent->parent->left;    // 令y为伯父节点
			if(y && y->color == _rb_tree_red)    // 有伯父节点，且为红
			{
				x->parent->color = _rb_tree_black;           // 更改父节点为黑色
				y->color = _rb_tree_black;                   // 更改伯父节点为黑色
				x->parent->parent->color = _rb_tree_red;     // 更改祖父节点为红色
				x = x->parent->parent;          // 准备继续往上层检查
			}
			else    // 无伯父节点，或伯父节点为黑色
			{
				if(x == x->parent->left)        // 如果新节点为父节点之左子节点
				{
					x = x->parent;
					_rb_tree_rotate_right(x , root);    // 第一个参数为右旋点
				}
				x->parent->color = _rb_tree_black;     // 改变颜色
				x->parent->parent->color = _rb_tree_red;
				_rb_tree_rotate_left(x->parent->parent , root);    // 第一个参数为左旋点
			}
		}
	}//while
	root->color = _rb_tree_black;    // 根节点永远为黑色
}


// 左旋函数
inline void _rb_tree_rotate_left(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)
{
	// x 为旋转点
	_rb_tree_node_base* y = x->right;          // 令y为旋转点的右子节点
	x->right = y->left;
	if(y->left != 0)
		y->left->parent = x;           // 别忘了回马枪设定父节点
	y->parent = x->parent;

	// 令y完全顶替x的地位（必须将x对其父节点的关系完全接收过来）
	if(x == root)    // x为根节点
		root = y;
	else if(x == x->parent->left)         // x为其父节点的左子节点
		x->parent->left = y;
	else                                  // x为其父节点的右子节点
		x->parent->right = y;
	y->left = x;
	x->parent = y;
}


// 右旋函数
inline void _rb_tree_rotate_right(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)
{
	// x 为旋转点
	_rb_tree_node_base* y = x->left;          // 令y为旋转点的左子节点
	x->left = y->right;
	if(y->right != 0)
		y->right->parent = x;           // 别忘了回马枪设定父节点
	y->parent = x->parent;

	// 令y完全顶替x的地位（必须将x对其父节点的关系完全接收过来）
	if(x == root)
		root = y;
	else if(x == x->parent->right)         // x为其父节点的右子节点
		x->parent->right = y;
	else                                  // x为其父节点的左子节点
		x->parent->left = y;
	y->right = x;
	x->parent = y;
}

STL源码剖析---红黑树原理详解上