[线性代数] 如何求协方差矩阵

1. 协方差定义

X、Y 是两个随机变量，X、Y 的协方差 cov(X, Y) 定义为：

其中：

 、

2. 协方差矩阵定义

矩阵中的数据按行排列与按列排列求出的协方差矩阵是不同的，这里默认数据是按行排列。即每一行是一个observation(or sample)，那么每一列就是一个随机变量。

协方差矩阵：

协方差矩阵的维度等于随机变量的个数，即每一个 observation 的维度。在某些场合前边也会出现 1 / m，而不是 1 / (m - 1).

3. 求解协方差矩阵的步骤

举个例子，矩阵 X 按行排列：

1. 求每个维度的平均值

2. 将 X 的每一列减去平均值

其中：

3. 计算协方差矩阵

注意：

有时候在书上或者网上会看到这样的公式，协方差矩阵 Σ：

这里之所以会是 X * X' 是因为原始数据集 X 是按列排列的，即：

另外在 opencv 文档中关于计算协方差矩阵的 calcCovarMatrix 函数的说明我觉得是有问题的，

在正常的 CV_COVAR_NORMAL 状态下它给出的 cov = scale * X * X'，而这个定义仅仅是在数据按列排列下才有的，即 CV_COVAR_COLS.

URL：http://docs.opencv.org/modules/core/doc/operations_on_arrays.html?highlight=calccovarmatrix#cv.CalcCovarMatrix

这里有一个按列排列的 PCA 教程，可以参考一下：

http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90

matlab 代码：

clear; clc;

% data are stored as rows.
X = [1 2 3;
     3 1 1];
 
Y = X;
 
[rows, cols] = size(X);
 
% get mean of each dimension(each column).
meanMatrix = mean(X);

% X - mean.
X = X - ones(rows, 1) * meanMatrix;

% get the cov matrix.
covMatrix = 1 / (rows - 1) * (X' * X)

% the given 'cov' function
cov(Y)