级数收敛判断

什么是级数？

      如果给定一个数列则由此数列构成的表达式称为常数项无穷级数（简称级数）。

什么是等比级数？

        形如的无穷级数叫做等比级数。很显然等比级数包含于无穷级数。

什么样的级数是收敛的？

        如果级数的部分和数列{Sn}有极限s,即

                                                               ，为常数

什么样的级数是发散的？

        如果数列的部分和数列{Sn}极限不存在。

如何判断级数是发散还是收敛？

               若级数是形如的等比级数，则根据等比级数的求和公式：

       ,分析：若, 则，很显然，,是个常数了，此时级数收敛。

                                                          若>1, 则，显然，此时级数发散。

                                                          若，则，又，显然，此时级数发散。

                                                          若，则,当为偶数时，

                                                                                                                             当为奇数时，

                                                                              所以的极限不存在，此时级数发散。

             一个常数乘以一个收敛级数将得到一个收敛级数。

             两个收敛级数相加还是收敛级数。

             在级数中去掉或加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。

             若级数收敛，则。这个一般都是用来先证明级数的最后一项不是0，可以推出他不是收敛的，从而这        个级数是发散的。

             若级数是正项级数（各项都是正数或零），那么我们可以根据以下规则判断级数是收敛还是发散：

                           设和都是正项级数，且`，可以得出：

                                    （1）如果级数收敛，则级数也收敛；

                                    （2）如果级数发散，则级数也发散。

                           很明显，如果需要运用这条定理来判断A级数的敛散性，你需要知道另外一个B级数的敛散性。然后通过比较                        每一项的大小来决定A级数的敛散性。所以就需要对一些级数的敛散性有一些储备：

                                                           是一个发散级数

                                                           是一个收敛级数

                                                                  拓展： ，故也是一个收敛级数                                

                          设和都是正项级数，且存在自然数N，使当时有()，如果收敛，则                            也收敛，如果发散，则也发散。

                          设和都是正项级数，如果,   则收敛，收敛。

                                                                               如果或，则发散，发散。

                                       运用此定理你需要知道是和，然后再将和相除，从而得到敛散性。

                         设是正项级数，并且, 且：

                                       （1）当时，级数收敛；

                                       （2）当时，级数发散；

                                       （3）当时，级数有可能收敛，也可能发散。

                                相比较上面两个推论可知此推论只关注于知道不知道，是否有倍数关                    系。当然如果有倍数关系的话，从他们的项公式应该能看出来。

                         设是正项级数，并且,则：

                                       （1）当时，级数收敛；

                                       （2）当时，级数发散；

                                       （3）当时，级数有可能收敛，也可能发散。

                                    这条定理适合那种带n次方的级数，比如