史上最清晰的函数空间讲解

史上最清晰的函数空间讲解

1.什么是数学的空间？

数学的空间定义了研究工作的对象和遵循的规则，研究工作的对象在空间中称之为元素，遵循的规则在空间中称之为结构，结构有线性结构（加法和数乘）和拓扑结构（距离、范数和开集）两种。

2.具象和抽象的事物该如何描述？

具象的事物具体描述，抽象的事物属性描述

3.两个向量/函数之间的距离如何定义？

3.1 两个向量之间的距离如何定义？

闵可夫斯基距离：$({\sum }_{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$
p=1为曼哈顿距离：$d(x,y)=|x_1-y_1|+\dots \dots +|x_n-y_n|$
p=2为欧式距离：$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots \dots +(x_n-y_n{)}^2}$
$p=\infty$为契比雪夫距离：$d(x,y)=max\{|x_1-y_1|,\dots \dots ,|x_n-y_n|\}$

3.2 两个函数之间的距离如何定义？

$d_1(f,g)={\int }_a^b(f(x)-g(x){)}^{2}dx$
$d_2(f,g)=ma{x}_{a\le x\le b}|f(x)-g(x)|$
$d_3(f,g)={\int }_a^b(f(x)-g(x){)}^{k}dx$

4.距离该如何描述？

距离是抽象的事物，用属性描述。
距离的定义： 设X是一个非空集合，对于集合内任意两个元素x和y都有一个实数d(x,y)与它们相对应，并且满足三个条件（属性）：
1、非负性：$d(x,y)\ge 0$
2、对称性：$d(x,y)=d(y,x)$
3、三角不等式：$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$
则称$d(x,y)$是两点之间的距离。

5. 什么是线性空间（向量空间）？

空间中研究工作的对象是向量，遵循的规则是线性结构，任意一个向量都可以通过其它两个向量的加法和数乘表示出来

6. 范数

6.1 什么是范数？

设$\parallel x\parallel$是线性空间的范数，满足以下三个属性：
1.非负性：$\parallel x\parallel \ge 0$
2.齐次性：$\parallel \alpha x\parallel =|\alpha |\parallel x\parallel$
3.三角不等式：$\parallel x+y\parallel \le \parallel x\parallel +\parallel y\parallel$
通俗来讲，范数是x到零点的距离。

6.2 常用的几种范数

1-范数：$\parallel x\parallel =|x_1|+\dots \dots +|x_n|$
2-范数：$\parallel x\parallel =\sqrt{x_1^2+\dots \dots x_n^2}$
$\infty$-范数：$\parallel x\parallel =max\{|x_1|,\dots \dots ,|x_n|\}$
总结：1-范数对应于曼哈顿距离，2-范数对应于欧式距离，$\infty$-范数对应于契比雪夫距离，所以说范数是x到零点的距离。

6.3 范数与距离的关系？

范数是距离的子集，由范数可以定义距离，但由距离不一定可以定义范数。

6.4 线性赋范空间和线性度量空间

赋予范数的线性空间称为线性赋范空间，范数表示向量的模长。 赋予距离的线性空间称为线性度量空间，距离表示向量之间的距离。

7. 内积空间

7.1 内积空间的由来：

线性赋范空间只能表示向量的模长，不能表示向量的夹角，为克服这一缺陷，我们引入内积。 #### 7.2 什么是内积? 设(x,y)是实数，且满足以下三个属性：

1.非负性：$x\times y\ge 0$
2.对称性：$x\times y=y\times x$
3.第一变元齐次性
则(x,y)是内积。

7.3 内积与范数的关系：

内积是范数的子集，内积可以定义范数，但范数不一定可以定义内积 #### 7.4 什么是内积空间？ 在线性空间上定义内积称为内积空间，内积空间又叫做欧几里得空间。 ### 8. 希尔伯特空间 希尔伯特空间=无穷维内积空间+完备性 完备性：空间中的元素进行极限运算，取极限后依然在此空间中 ### 9. 巴拿赫空间 巴拿赫空间=线性赋范空间+完备性 完备性：空间中的元素进行极限运算，取极限后依然在此空间中 ### 10.拓扑空间 #### 10.1 什么是开集？ 设X是任意集合，a是X的子集构成的族，若满足： 空集和X属于a； a中任意多个元素之并属于a； a中有限多个元素之交属于a； 则a中的元素称为开集，a是X的一个拓扑。 #### 10.2什么是拓扑空间？ （X,a）称为拓扑空间。

总结：

1. 拓扑->距离->范数->内积；
2. 拓扑空间->线性度量空间->线性赋范空间->内积空间；
3. 巴拿赫空间=线性赋范空间+完备性，希尔伯特空间=无穷维内积空间+完备性